Πρόβλημα Πιθανοτήτων

#1

Ένα δοχείο έχει μόνο άσπρες μπάλες ενώ ένα άλλο έχει 30 άσπρες και 10 μαύρες. Ένα δοχείο επιλέγεται στην τύχη και μια μπάλα επιλέγεται στην τύχη από αυτό. Η μπάλα ήταν άσπρη και τοποθετήθηκε πίσω στο δοχείο από όπου την πήραμε. Αν επιλέξουμε τώρα άλλη μια μπάλα από το ίδιο δοχείο που πήραμε την πρώτη, ποια η πιθανότητα να είναι μαύρη;

Christos.N · #2

Αν είναι σωστή η σκέψη μου γιατι έχω να τα πιασω πολύ καιρό....Διόρθωσε με αν κάνω λάθος.
Βρίσκουμε την πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη
Ρ(άσπρη) = Ρ(άσπρη/επιλέγω δοχείο Α) Ρ(Α) + Ρ(άσπρη/επιλέγω δοχείο Β) Ρ(Β)=
= 1*1/2 + 30/40 *1/2 = 7/8
Βρίσκουμε την πιθανότητα για την μάυρη λοιπόν:

Ρ(μαύρη) = Ρ(μαύρη/ επέλεξα άσπρη απο το Α) Ρ(άσπρη) + Ρ(μαύρη/ επέλεξα άσπρη απο το Β) Ρ(άσπρη) = 0* 7/8 + 10/40 * 7/8 = 7/ 32.

#3

Η δική μου γνώμη είναι η εξής (και ας διορθωθώ κσι εγώ αν κάνω λάθος...) ότι το γεγονός ότι τραβάω την άσπρη μπάλα σε πρώτη φάση δεν παίζει κανένα ρόλο στον υπολογισμό της ζητούμενης πιθανότητας, λόγω του ότι επανατοποθετήθηκε.
Βρίσκω λοιπόν ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι

Ρ(Μαύρη|τραβάω απ' το κουτί Α)Ρ(τραβάω απ' το κουτί Α)+Ρ(Μαύρη|τραβάω απ' το κουτί Β)Ρ(τραβάω απ' το κουτί Β)=
0*1/2+1/4*1/2=1/8...

Christos.N · #4

Έχω την εντύπωση ότι κατεξοχήν , το οποίο το καταλαβαίνω απο την εκφώνηση έτσι, δεν γνωρίζουμε ότι το δοχείο που επιλέξαμε έχει μόνο άσπρες μπάλες , άρα στοχαστικά λαμβάνουμε υπόψιν μας ότι μπορεί το ίδιο δοχείο να περιέχει είτε μόνο άσπρες είτε άσπρες ή μαύρες όταν επιλέγουμε για δεύτερη φορά.

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Η δική μου γνώμη είναι η εξής (και ας διορθωθώ κσι εγώ αν κάνω λάθος...) ότι το γεγονός ότι τραβάω την άσπρη μπάλα σε πρώτη φάση δεν παίζει κανένα ρόλο στον υπολογισμό της ζητούμενης πιθανότητας, λόγω του ότι επανατοποθετήθηκε.

Όχι. Αυτό είναι σοβαρό λάθος. Σκέψου το διαφορετικά. Αν το δεύτερο δοχείο είχε μόνο μαύρες τότε θα ήμασταν σίγουροι ότι επιλέξαμε την μπάλα από το πρώτο δοχείο. Άρα αφού ξαναδιαλέγουμε από το πρώτο δοχείο η πιθανότητα θα ήταν μηδέν. (Στο προηγούμενο μήνυμα είχα γράψει ένα αντί μηδέν. Ευχαριστώ τον Γιώργο Μπαλόγλου για την διόρθωση.)

Για την άσκηση καλούμε σε βοήθεια τον φίλο μας τον Bayes. Βρίσκω διαφορετικό αποτέλεσμα από τον Χρήστο. Είναι όμως πολύ πιθανό να είμαι εγώ ο λανθασμένος. Βρίσκω

Α1 = άσπρη στην πρώτη επιλογή
1 = επιλογή πρώτου δοχείου
2 = επιλογή δεύτερου δοχείου
A2 = άσπρη στην δεύτερη επιλογή
Μ2 = μαύρη στην δεύτερη επιλογή

P(Α1) = P(A1|1)P(1) + P(A1|2)P(2) = 1*(1/2) + (3/4)*(1/2) = 7/8
P(1|A1) = P(A1|1)P(1)/P(A1) = (1/2)/(7/8) = 4/7
P(2|A1) = P(A1|2)P(2)/P(A2) = (3/8)/(7/8) = 3/7

Τέλος
P(M2|A1) = P(M2|1)P(1|A1) + P(M2|2)P(2|A1) = 0 + (1/4)*(3/7) = 3/28

#6

Θετουμε Σ = δοχειο με ασπρες μπαλες μονο, Ν = δοχειο με 30 ασπρες μπαλες και 10 μαυρες μπαλες, Α = ασπρη μπαλα στην πρωτη επιλογη. Η πιθανοτητα για μαυρη μπαλα στην δευτερη επιλογη ειναι Π[Σ/Α]*0 + Π[Ν/Α]*1/4 = Π[Ν/Α]/4 = {Π[Ν+Α]/Π[Α]}/4 = {(1/2*3/4)/(1/2*1 + 1/2*3/4)}/4 = {(3/8)/(7/8)}/4 = {3/7}/4 = 3/28

Πιο εποπτικα: επειδη τραβηξαμε ασπρη μπαλα στην πρωτη επιλογη, αυξανει καπως η πιθανοτητα να εχουμε επιλεξει το δοχειο με τις ασπρες μπαλες, γι' αυτο και η πιθανοτητα που βγαζω για μαυρη μπαλα στην δευτερη επιλογη ειναι κατα τι μικροτερη αυτης του Ανασταση

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Βλεπω τωρα και την απαντηση του Δημητρη

Christos.N · #7

Demetres έγραψε:P(1|A1) = P(A1|1)P(1)/P(A1) = (1/2)/(7/8) = 4/7
P(2|A1) = P(A1|2)P(2)/P(A2) = (3/8)/(7/8) = 3/7

Τέλος
P(M2|A1) = P(M2|1)P(1|A1) + P(M2|2)P(2|A1) = 0 + (1/4)*(3/7) = 3/28

Νομίζω ότι συγκλίνω μαζί σου (δεν μπορώ να θυμηθώ γιατι σκεφτόμουν αυτό που σκέφτηκα ).

#8

¨Οσον αφορά τις λύσεις, οκ, όλα καλά, αλλά θέλω να ρωτήσω κάτι που ίσως ακουστεί χαζό:

Αν το πρόβλημα ετίθετο ως εξής: Έστω τα δοχεία όπος περιγράφτηκαν παραπάνω.
Επιλέγουμε στην τύχη ένα δοχείο και από κατόπιν από αυτό μια μπάλα. Ποια η πιθανότητα αυτή να είναι μαύρη; (1)

Η λύση τότε θα άλλαζε; Θα ήταν η δική μου η κατάλληλη;

Αν ναι, δυσκολεύομαι διαισθητικά να καταλάβω πώς το γεγονός ότι πήραμε μια μπάλα, την είδαμε και την ξαναβάλαμε μέσα θα επηρεάσει την πιθανότητα της επόμενης επιλογής, δεδομένου το ότι το δοχείο έχει ήδη επιλεχθεί....

Και κάτι ακόμα ισως πιο χαζό. Αν απλά ακουμπούσαμε μια μπάλα από το δοχείο που επιλέξαμε και προχωρούσαμε στην επόμενη ενέργεια, ή αν την βγάζαμε αλλά δεν τη βλέπαμε, τότε απλά δεν θα μπορούσαμε να αποφανθούμε για τη ζητούμενη πιθανότητα του αρχικού προβλήματος; ή θα ήταν σωστή η δική μου λύση;
Γιατί αν συμβαίνει το δεύτερο, φαίνεται να αλλάζει την κατάσταση το γεγονός ότι απλά κοιτάζουμε μια μπάλα...

Δεν μπορώ δηλαδή να δω: πώς το ότι απλά μας δίνεται μια πληροφορία χωρίς όμως να μας δίνεται και η δυνατότητα εκ νέου επιλογής (αφού πάλι από το επιλεγμένο θα επιλέξουμε), μπορεί να διαφοροποιήσει την κατάσταση, όπως αυτή τέθηκε στο αρχικό μου ποστ, από την κατάσταση (1)

Ζητώ προκαταβολικά συγνώμη αν οι προβληματισμοί μου σας κουράζουν

#9

Aνασταση τo εξηγει απoτελεσματικα o Δημητρης στην αρχη της αναρτησης τoυ*. Εγω ας πρoσθεσω oτι τετoια πρoβληματα μπορουν να προσομοιωθουν [simulation] -- ακoμη και μεσα στην ταξη -- επαληθευoντας τo θεωρητικo απoτελεσμα. Βλεπε και σχετικη συζητηση (η πρωτη μου στο

, με διoρθωση απo τoν Δημητρη) εδω.

*ας το γενικευσω λιγo: αν στο πρωτο δοχειο εχουμε 100% ασπρες μπαλες και στο δευτερο 100p% ασπρες μπαλες, τοτε η πιθανοτητα μαυρης μπαλας στην δευτερη επιλογη (υστερα απο ασπρη μπαλα στην πρωτη επιλογη) ειναι p*(1-p)/(1+p) -- μεγιστη δηλαδη πιθανοτητα μαυρης μπαλας (17,16%) οταν εχουμε 41,42% ασπρες μπαλες στο δευτερο δοχειο

Γιωργoς

#10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Αν το πρόβλημα ετίθετο ως εξής: Έστω τα δοχεία όπος περιγράφτηκαν παραπάνω.
Επιλέγουμε στην τύχη ένα δοχείο και από κατόπιν από αυτό μια μπάλα. Ποια η πιθανότητα αυτή να είναι μαύρη; (1)

Η λύση τότε θα άλλαζε; Θα ήταν η δική μου η κατάλληλη;

Ναι η λύση σου θα ήταν σωστή.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Αν ναι, δυσκολεύομαι διαισθητικά να καταλάβω πώς το γεγονός ότι πήραμε μια μπάλα, την είδαμε και την ξαναβάλαμε μέσα θα επηρεάσει την πιθανότητα της επόμενης επιλογής, δεδομένου το ότι το δοχείο έχει ήδη επιλεχθεί....

Το θέμα είναι ότι έχουμε μία πληροφορία. Αυτήν την πληροφορία πρέπει να την λάβουμε υπόψη. Η πιθανότητα Ρ(Μ2) ισούται πάντα με 1/8 και δεν αλλάζει. Το πρόβλημα όμως δεν ζητάει αυτήν την πιθανότητα. Ζητάει την πιθανότητα Ρ(Μ2|A1) η οποία είναι διαφορετική.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Και κάτι ακόμα ισως πιο χαζό. Αν απλά ακουμπούσαμε μια μπάλα από το δοχείο που επιλέξαμε και προχωρούσαμε στην επόμενη ενέργεια, ή αν την βγάζαμε αλλά δεν τη βλέπαμε, τότε απλά δεν θα μπορούσαμε να αποφανθούμε για τη ζητούμενη πιθανότητα του αρχικού προβλήματος; ή θα ήταν σωστή η δική μου λύση;
Γιατί αν συμβαίνει το δεύτερο, φαίνεται να αλλάζει την κατάσταση το γεγονός ότι απλά κοιτάζουμε μια μπάλα...

Τότε το πρόβλημα θα ζήταγε την πιθανότητα Ρ(Μ2). (Δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσε να ζητήσει.) Αυτή η πιθανότητα όπως έγραψα πιο πάνω ισούται πάντα με 1/8.

Ελπίζω να βοήθησα.

#11

Θέλω να προσθέσω κάποια περισσότερα πράγματα σε αυτό το πρόβλημα. Έχουμε βρει την απάντηση χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Bayes. Θα δώσω και μια άλλη λύση:

Βρίσκουμε αρχικά τον δειγματικό χώρο. Έστω ότι το πρώτο δοχείο έχει

άσπρες μπάλες τις οποίες ονομάζουμε $A_1,\ldots,A_k$ . Γράφουμε επίσης $B_1,\ldots,B_{30}$ για τις άσπρες μπάλες του δεύτερου δοχείου και $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_{10}$ για τις μαύρες.

Ο δειγματικός χώρος λοιπόν είναι η ένωση των συνόλων

$X = \{ (A_i,A_j): 1 \leqslant i,j \leqslant k\}$
$Y = \{ (B_i,B_j): 1 \leqslant i,j \leqslant 30 \}$
$Z = \{ (B_i,\Gamma_j): 1 \leqslant i \leqslant \; \kappa \alpha \iota \; 1 \leqslant j \leqslant 10 \}$

Κάθε στοιχείο του Χ έχει πιθανότητα $(1/2) \cdot (1/k) \cdot (1/k) = 1/(2k^2)$ .
Κάθε στοιχείο του Υ έχει πιθανότητα $(1/2) \cdot (1/30) \cdot (1/40) = 1/2400$ .
Κάθε στοιχείο του Ζ έχει πιθανότητα $(1/2) \cdot (1/30) \cdot (1/40) = 1/2400$ .

Επίσης |X|=k^2,|Y| = 900,|Z|=300

. (Έλεγχος: k^2/(2k^2) + 900/2400 + 300/2400 = 1

.)

Εμείς ζητάμε την πιθανότητα του Ζ που ισούται με 300/2400 = 1/8

.

Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Re: Πρόβλημα Πιθανοτήτων

Μέλη σε σύνδεση