Πίνακες τάξης 3;

#1

Έστω

ένας διανυσματικός χώρος $5 \times 7$ πινάκων. Αν είναι γνωστό ότι ο

περιέχει πίνακες τάξης (rank) 0,1,2,4

και

ισχύει ότι απαραίτητα θα έχει και πίνακες τάξης 3;

Nick1990 · #2

Όχι απαραίτητα.

Θεωρούμε:

$A_1 = \begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}$

$A_2 = \begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

$A_3 = \begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

βαθμού

,

και

αντίστοιχα. Ο χώρος που παράγεται από τους πίνακες αυτούς περιέχει και τον A_1 - A_2 + A_3

που είναι βαθμού

, και φυσικά και το μηδενικό πίνακα βαθμού

.

Κάθε στοιχείο του χώρου αυτού είναι της μορφής:

$A = \begin{pmatrix}a+b&0&0&0&0&c&0\\0&a+b&0&0&0&0&0\\0&0&a+b&0&0&0&0\\0&0&0&a+b&0&0&0\\0&0&0&0&a&0&0\end{pmatrix}$

που για να έχει βαθμό μικρότερο από

θα πρέπει

. Τότε όμως θα έχει βαθμό το πολύ

.

ΥΓ: Η απόδειξη δουλεύει και για $5 \times 6$ πίνακες, αφού η τελευταία στήλη δεν χρησιμοποιείται καθόλου.

#3

Σωστά. Ήταν το πρόβλημα Β4 από τον Putnam του 1981.

Η προτεινόμενη λύση ήταν παρόμοια αλλά χρησιμοποιούσε και την 7η στήλη. Οπότε καλά έκανε ο Νίκος και μας ανάφερε πως δεν χρειάζεται.

Πίνακες τάξης 3;

Πίνακες τάξης 3;

Re: Πίνακες τάξης 3;

Re: Πίνακες τάξης 3;

Μέλη σε σύνδεση