Απλή;;

alexandropoulos · #1

Να δειχθεί ότι
$\frac{2} {5} < \int\limits_0^1 {\frac{{x^2 + 1}} {{e^x + 1}}dx < \frac{3} {5}}$

STOPJOHN · #2

Θεωρούμε τη συνάρτηση
$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1},x\epsilon \left[0,1 \right]$
$f'(x)=\frac{\sigma (x)}{(e^{x}+1)^{2}}, \sigma (x)=e^{x}+e^{x}x^{2}-2x-2xe^{x},x\epsilon \left[0,1 \right]$
μελετάμε το πρόσημο της συνάρτησης
$\sigma (x)$
$\sigma '(x)= \frac{-2xe^{x}-2x+e^{x}x^{2}+e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} x\epsilon \left[0,1 \right], f(0)=\frac{1}{10}, f(1)=\frac{3e-7}{5e+5}$
$f(x)=\frac{3e-7}{5e+5}>0$ γιατί η συνάρτηση f(x)

έχει ακρότατα στα άκρα του διαστήματος $\left[0,1 \right]$

Οπότε είναι $\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1}<\frac{3}{5}\Rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1}}dx<\int_{0}^{1}{\frac{3}{5}dx}$

Με την ίδια μέθοδο και για την αριστερή ανισότητα για τη συνάρτηση $k(x)=\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1}-\frac{2}{5},x\epsilon \left[0,1 \right]$

$\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1}>\frac{2}{5}\Rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}+1}{e^{x}+1}dx}>\int_{0}^{1}{\frac{2}{5}dx}$

Γιάννης

Απλή;;

Απλή;;

Re: Απλή;;

Μέλη σε σύνδεση