Διοφαντικές Εξισώσεις

Rafaelcrete · #1

α) $2^{x}+3^{y}=5^{z}$ για x,y,z θετικούς ακέραιους(Βασικά έχω δεί πολλά θεωρήματα σχετικά με τις λύσεις της διοφαντικής $a^{x}+b^{y}=c^{z}$ με a,b,c δοσμένους θετικούς ακέραιους αλλά είναι δυσνόητα)
β)Πότε η παράσταση $p^{2}-p+1$ είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση $x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19$

Αρχιμήδης 6 · #2

Rafaelcrete έγραψε:α) $2^{x}+3^{y}=5^{z}$ για x,y,z θετικούς ακέραιους(Βασικά έχω δεί πολλά θεωρήματα σχετικά με τις λύσεις της διοφαντικής $a^{x}+b^{y}=c^{z}$ με a,b,c δοσμένους θετικούς ακέραιους αλλά είναι δυσνόητα)
β)Πότε η παράσταση $p^{2}-p+1$ είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση $x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19$

Καλησπέρα,

Ασχολήθηκα με την β .

p^2-p+1=a^3

Με δοκιμές βλέπω ότι p>3

,

Αν

τότε δεν έχουμε λύση γιατί το δεξί μέλος προφανώς μεγαλύτερος αριθμός από το αριστερό.

Άρα p|a^2+a+1

και

Εγώ το σύστημα αυτό το έλυσα ως εξής

Έστω (a-1)k=p-1

,

Αντικαθιστώντας στην p^2-p+1=a^3

τον

(η τον

) θα έχουμε τελικά το τριώνυμο ..(Έγινε τυπογραφικό λάθος και διόρθωση ...αντί της p^2+p+1

σε

, ευχαριστώ για την επισήμανση παρακάτω.

a^2+a(1-k^2)+k^2-k+1=0

με

για κάθε

Μένει να ελέγξω k=0,1,2,3

και έχει λύση μόνο για k=3

οπότε

,

Μοναδική λύση το ζεύγος (p,a)=(19,7)

Υ.γ Σε μερικά σημεία χρειάζονται κάποιες επιπλέον πράξεις από τον αναγνώστη ώστε να φτάσει στο αποτέλεσμα .
Ελπίζω να είναι σωστή.

Φιλικά,

Δημήτρης

Rafaelcrete · #3

Νομίζω ότι έχει γίνει ένα λάθος.Γράφεις κάπου στα μέσα ότι αντικαθιστώντας στην p^2+p+1=a^3

ενώ είναι

.

Αρχιμήδης 6 · #4

Rafaelcrete έγραψε:Νομίζω ότι έχει γίνει ένα λάθος.Γράφεις κάπου στα μέσα ότι αντικαθιστώντας στην ενώ είναι .

Διορθώθηκε το τυπογραφικό Ραφαήλ, ευχαριστώ.

Rafaelcrete · #5

Μήπως τα τελευταία θα μπορούσες να τα εξηγήσεις λίγο παραπάνω διότι δεν τα πολύ καταλαβαίνω.Μετά απο εκεί που λές αντικαθιστώντας κυρίως.Μπορεί κάποιος να πεί ότι είναι τετριμένα,απλές πράξεις αλλά μπερδεύουν και δεν μου φαίνονται και τόσο προφανή.

Αρχιμήδης 6 · #6

Διάβασε προσεχτικά ότι γράφω και κάνε την αντικατάσταση που είπα .Ως εδώ δεν πρέπει να έχεις κάποια δυσκολία. Αφού κάνεις αντικατάσταση θα κάνεις και μια απλοποίηση του παράγοντα (a-1)

για να καταλήξεις στο τριώνυμο που έχω γράψει στην λύση μου.

Φιλικά,
Δημήτρης

raf616 · #7

Μια προσέγγιση για το (α). Με ταλαιπώρησε πολύ και ακόμα δεν είναι πλήρως ολοκληρωμένη.

Ξεκινάμε με την περίπτωση x = 1

. Αυτό είναι και το σημείο στο οποίο δεν μπόρεσα να βρω λύση. Βάζω μόνο κάποιες σκέψεις.

Η εξίσωση γίνεται:

2 + 3^y =5^z

. Εύκολα με $\pmod3$ και $\pmod 4$ μπορούμε να δούμε ότι y, z

περιττοί. Από εκεί και πέρα δεν ξέρω τι να κάνω και το αφήνω ανοικτό για όποιον θέλει να

προσπαθήσει.

Για x = 2

η εξίσωση γίνεται:

4 + 3^y = 5^z

. Με $\pmod3$ παίρνω z = 2r

και με $\pmod4$ παίρνω y = 2m

. Έτσι η εξίσωση γίνεται:

4 = (5^r - 3^m)(5^r + 3^m)

.

Προκύπτουν κάποια συστήματα τα οποία όμως δεν δίνουν λύση(δεν τα γράφω για εξοικονόμηση χρόνου).

Έστω τώρα $x \geq 3$ .

Με $\pmod4$ έχουμε ότι y = 2m

. Επομένως $3^y = 3^{2m} = 9^m \equiv 1 \pmod8$ . Ακόμα, αφού $x \geq 3$ είναι $2^x \equiv 0 \pmod8$ . Επομένως θα πρέπει $5^z \equiv 1 \pmod 8$ .

Αν

περιττός έστω z = 2n + 1

έχουμε $5^{2} \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5^{2n + 1} \equiv 5 \pmod 8$ , άτοπο.

Αν

άρτιο, έστω z = 2n

τότε $5^{2} \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5^{2n} \equiv 1 \pmod8$ , δεκτό.

Άρα z = 2n

.

Η εξίσωση γίνεται:

$2^x + 3^y = 5^z \Leftrightarrow 2^x = (5^n - 3^m)(5^n + 3^m)$ .

Επομένως:

$\begin{cases} 5^n - 3^m = 2^a \\ 5^n + 3^m = 2^b \end{cases}$

με a < b

και

.

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$5^n = 2^{a-1} + 2^{b-1}$

Αν a - 1 > 0

θα είχαμε $2^{a-1}|2^{b-1} \Rightarrow 2^{a-1}|5^{n}$ , άτοπο.

Άρα $a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1$ .

Επομένως, η εξίσωση γίνεται:

$5^n = 1 + 2^{b - 1}$ .

Αν $b - 1 \geq 3$ έχουμε $2^{b - 1} \equiv 0 \pmod8 \Rightarrow 5^n \equiv 1 \pmod8 \Rightarrow n = 2q$ .

Με $\pmod3$ έχουμε $5^{n} \equiv 1 \pmod3 \Rightarrow 1 + 2^{b - 1} \equiv 1 \pmod \Rightarrow 2^{b - 1} \equiv 0 \pmod3$ , άτοπο.

Άρα $b - 1 \leq 2$ . Εύκολα τώρα παίρνουμε $b - 1 = 2 \Leftrightarrow b = 3$ .

Έτσι $n = 1 \Leftrightarrow z = 2$ . Τελικά, προκύπτει η λύση (x, y, z) = (4, 2, 2)

.

Y.Γ.: Θα ήθελα να παρακαλέσω όποιον μπορεί να δει την περίπτωση x = 1

γιατί με έχει ταλαιπωρήσει πάρα πολύ...

raf616 · #8

Επαναφορά!

jim.jt · #9

Υποθέτω εννοείς την εξίσωση 5^z-3^y=2

Ραφαήλ.

Λοιπόν, για y=1

έχουμε τη λύση (y,z)=(1,1)

.

Για $y\geq 2$ , έχουμε $z\equiv 5\pmod6$ αφαιρώντας $\pmod9$ .

Επίσης, αφαιρώντας $\pmod4$ , έχουμε ότι το

είναι περιττό.

Όμως αφαιρώντας τη σχέση $\pmod7$ , έχουμε:

$3^y\equiv 5^{6k+5}-2\equiv 3-2\equiv 1\pmod7\Rightarrow y\equiv 0\pmod6$ ,

άρα το

είναι άρτιο. Άτοπο.

Αρχιμήδης 6 · #10

Rafaelcrete έγραψε:α) $2^{x}+3^{y}=5^{z}$ για x,y,z θετικούς ακέραιους]

Αν

Με

,

προκύπτει ότι y,x,z

άρτιοι αντίστοιχα.

x=2a

,

όπου

,

οπότε εύκολα

προκύπτει μοναδική λύση για a=2

,

Αν

ομοίως όπως ο jim.jt. για την λύση (x,y,z)=(1,1,1)

Αναπάντητο το γ ερώτημα.

#11

Rafaelcrete έγραψε:β)Πότε η παράσταση $p^{2}-p+1$ είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός

BMO 2005

#12

Rafaelcrete έγραψε:γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση $x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19$

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αρχιμήδης 6 · #13

Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η ελαφρώς γενικότερη περίπτωση της δεύτερης εξίσωσης .

Για να λύσουμε την παρακάτω εξίσωση:

x^2-x+1=y^3

Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδικές λύσεις τις (x,y)=(19,7),(-18,7),(0,1),(1,1)

Ένας τρόπος να λυθεί είναι να την μετασχηματίσεις αρχικά στην παρακάτω,

(2x-1)^2+3=4y^3

οπότε έχουμε να λύσουμε την

A^2+3=4B^3

Η τελευταία λύνεται και με παραγοντοποίηση σε UFD και έχει λυθεί από τον W.Lyunggren.

Ορέστης Λιγνός · #14

Rafaelcrete έγραψε:
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση $x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19$

Να κλείνει.

Με Fermat $x^y \equiv x (\bmod y)$ .

Άρα, $LHS \equiv x(\bmod y), \, RHS \equiv -19(\bmod y)$ , άρα $x \equiv -19(\bmod y) \Leftrightarrow y/x+19$ , και όμοια x/y-19

.

Με

, έχουμε $y \leq x+19, \, x \leq y-19$ , άρα έχουμε ισότητα, δηλαδή y=x+19

, και αφού είναι πρώτοι, ένας είναι

.

Προφανώς, $x=2, \, y=21$ όχι πρώτος.

Άρα, $y \leq 19$ και με δοκιμές έχουμε $\boxed{(x,y)=(2,7), \, (x,y)=(2,3)}$

Διοφαντικές Εξισώσεις

Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Re: Διοφαντικές Εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση