ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Παπαϊωάννου

1. α) Να βρεθούν οι συνθήκες μεταξύ πλευρών και ύψους ισοσκελούς τραπεζίου ώστε το τραπέζιο να είναι περιγράψιμο σε κύκλο.
β) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{(B\Gamma) =\alpha}$ και $\displaystyle{(AB)=(A\Gamma)=\beta}$ . Μεταξύ των πλευρών $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ φέρνουμε την $\displaystyle{B_1\Gamma_1}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma }$ έτσι ώστε το τραπέζιο $\displaystyle{B_1\Gamma_1\Gamma B}$ να περιγράφεται σε κύκλο $\displaystyle{(C_1)}$ . Στη συνέχεια φέρνουμε την την $\displaystyle{B_2\Gamma_2}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{B_1\Gamma_1}$ έτσι ώστε το τραπέζιο $\displaystyle{B_2\Gamma_2\Gamma_1 B_1}$ να περιγράφεται σε κύκλο $\displaystyle{(C_2)}$ και αυτό επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Ζητείται ο λόγος του αθροίσματος των εμβαδών των άπειρων κύκλων $\displaystyle{(C_1),(C_2),(C_3),... }$ προς το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

2. 'Έστω τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Προεκτείνουμε την $\displaystyle{\Gamma B}$ προς το $\displaystyle{ B}$ και παίρνουμε μήκος $\displaystyle{(B\Delta)=(B\Gamma)}$ . Έστω $\displaystyle{ M}$ το μέσο της $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{E}$ το σημείο στο οποίο η $\displaystyle{\Delta M }$ τέμνει την $\displaystyle{AB}$ . Θεωρούμε τους κύκλους, οι οποίο εφάπτονται στο $\displaystyle{E}$ και έχουν κέντρα τα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{M}$ . Φέρνουμε την κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Ζητείται ο λόγος του εμβαδού του τετραπλεύρου $\displaystyle{BEM\Gamma}$ προς το εμβαδόν του τραπεζίου $\displaystyle{\Delta M\Theta H}$ συναρτήσει των μηκών των πλευρών $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

3. Σε επίπεδο $\displaystyle{\pi}$ θεωρούμε κανονικό εξάγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta E Z}$ πλευράς μήκους $\displaystyle{\alpha}$ . Από το κέντρο $\displaystyle{ K}$ του εξαγώνου υψώνουμε κάθετη στο $\displaystyle{ \pi}$ και πάνω σε αυτήν παίρνουμε μήκος $\displaystyle{ (KH)=\lambda +x }$ όπου $\displaystyle{0<x<\lambda}$ . Στην συνέχεια από τις τρεις μη συνεχόμενες κορυφές $\displaystyle{A,\Gamma ,E }$ υψώνουμε καθέτους στο $\displaystyle{\pi }$ και προς την ίδια φορά της $\displaystyle{KH }$ και πάνω στις καθέτους αυτές παίρνουμε τμήματα $\displaystyle{(AA')=(\Gamma\Gamma')=({\color{red}EE}')=\lambda }$ αντίστοιχα .
Τα επίπεδα $\displaystyle{HA'\Gamma{\color{red}'}, H\Gamma' E'}$ και $\displaystyle{ HE'{\color{red}A}' }$ τέμνουν τις καθέτους στο επίπεδο $\displaystyle{\pi }$ οι οποίες άγονται από τις κορυφές $\displaystyle{B,\Delta,Z}$ στα σημεία $\displaystyle{B',\Delta',Z' }$ αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται στερεό του οποίου κορυφές του κανονικού εξαγώνου, τα σημεία $\displaystyle{A',B',\Gamma',\Delta', E', Z' }$ και το σημείο $\displaystyle{H}$ . Ζητούνται:
α) Το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των μηκών των ακμών του στερεού
β) το εμβαδόν $\displaystyle{S}$ της επιφάνεια του στερεού
γ) Οι τιμές $\displaystyle{\Sigma}$ και $\displaystyle{S}$ όταν $\displaystyle{x=0}$

edit
διορθώσεις στο 3ο θέμα, αρκετά τα τυπογραφικά, ευχαριστώ τον Κώστα (Δόρτσιο) που το πρόσεξε

#2

parmenides51 έγραψε:3. Σε επίπεδο $\displaystyle{\pi}$ θεωρούμε κανονικό εξάγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta E Z}$ πλευράς μήκους $\displaystyle{\alpha}$ . Από το κέντρο $\displaystyle{ K}$ του εξαγώνου υψώνουμε κάθετη στο $\displaystyle{ \pi}$ και πάνω σε αυτήν παίρνουμε μήκος $\displaystyle{ (KH)=\lambda +x }$ όπου $\displaystyle{0<x<\lambda}$ . Στην συνέχεια από τις τρεις μη συνεχόμενες κορυφές $\displaystyle{A,\Gamma ,E }$ υψώνουμε καθέτους στο $\displaystyle{\pi }$ και προς την ίδια φορά της $\displaystyle{KH }$ και πάνω στις καθέτους αυτές παίρνουμε τμήματα $\displaystyle{(AA')=(\Gamma\Gamma')=({\color{red}EE}')=\lambda }$ αντίστοιχα .
Τα επίπεδα $\displaystyle{HA'\Gamma{\color{red}'}, H\Gamma' E'}$ και $\displaystyle{ HE'{\color{red}A}' }$ τέμνουν τις καθέτους στο επίπεδο $\displaystyle{\pi }$ οι οποίες άγονται από τις κορυφές $\displaystyle{B,\Delta,Z}$ στα σημεία $\displaystyle{B',\Delta',Z' }$ αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται στερεό του οποίου κορυφές του κανονικού εξαγώνου, τα σημεία $\displaystyle{A',B',\Gamma',\Delta', E', Z' }$ και το σημείο $\displaystyle{H}$ . Ζητούνται:
α) Το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των μηκών των ακμών του στερεού
β) το εμβαδόν $\displaystyle{S}$ της επιφάνεια του στερεού
γ) Οι τιμές $\displaystyle{\Sigma}$ και $\displaystyle{S}$ όταν $\displaystyle{x=0}$

Εργαζόμαστε στο σχήμα το οποίο προέκυψε ύστερα από την εφαρμογή των δεδομένων του προβλήματος αυτού.

: Πολύεδρο 3.PNG (99.02 KiB) Προβλήθηκε 2144 φορές

Ας δούμε το πώς προέκυψε.

Αρχικά είναι: $\displaystyle{(KH)=(KS) +(SH)=\lambda +x}$ και $\displaystyle{(AA')=(CC')=(EE')=\lambda}$

Θεωρούμε αρχικά ότι οι κάθετες στο επίπεδο που ορίζει το κανονικό εξάγωνο $\displaystyle{A B C D E F}$ και στις κορυφές αυτού
δημιουργούν μια ορθή εξαγωνική πρισματική επιφάνεια με οδηγό το εν λόγω εξάγωνο.

Ειδικότερα προσέχουμε την ορθή τετραγωνική πρισματική επιφάνεια που έχει οδηγό το ρόμβο $\displaystyle{ABCK}$ .(πράσινο χρώμα)
Αυτήν ακριβώς την επιφάνεια τέμνει το επίπεδο που ορίζουν τα τρία σημεία $\displaystyle{H,A',C'}$ με αποτέλεσμα να προκύπτει στην τέταρτη ακμή της
το σημείο $\displaystyle{B'}$ . Έτσι η τομή του επιπέδου αυτού με την πρισματική αυτή επιφάνεια είναι το τετράπλευρο $\displaystyle{HA'B'C'}$ το οποίο θα δείξουμε
ότι είναι ρόμβος.

Κατ' αρχήν το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο, διότι η τομή ενός επιπέδου με δύο άλλα που είναι παράλληλα μεταξύ των είναι
παράλληλες ευθείες. Έτσι το επίπεδο των $\displaystyle{H,A', C'}$ τέμνει τις απέναντι πλευρές του τετραγωνικού πρίσματος με οδηγό το $\displaystyle{ABCK}$
σε παράλληλες ευθείες.

Ακόμα είναι εύκολο να διακρίνουμε ότι οι διαγώνιες αυτού του παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα διότι η $\displaystyle{AC=//A'C'}$ και κάθετη
στο επίπεδο των παραλλήλων $\displaystyle{BB', KK'}$ (αφού η $\displaystyle{AC}$ κάθετη στην $\displaystyle{BK}$ καθώς και ορθογώνια στην $\displaystyle{BB'}$ ). Άρα η $\displaystyle{A'C'}$
είναι κάθετη στην $\displaystyle{B'H}$ (αφού η $\displaystyle{B'H}$ ανήκει στο επίπεδο των παραλλήλων $\displaystyle{BB', KK'}$ )

Συμπέρασμα:
Το στερεό που προκύπτει είναι ένα κυρτό δεκάεδρο που συντίθεται από τρία κολοβά πρίσματα τα
$\displaystyle{ABCKA'B'C'H}$ , $\displaystyle{CDEKC'D'E'H}$ , $\displaystyle{EFAKE'F'A'H}$ .
Ακόμα η επιφάνεια του δεκαέδρου αυτού αποτελείται από ένα εξάγωνο(η βάση) τρείς ρόμβους (οι ανωτέρω που μελετήθηκαν) και έξι ορθογώνια τραπέζια.

Στη συνέχεια φέρουμε από το σημείο $\displaystyle{S}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{KB}$ η οποία ορίζει επί της καθέτου (προς το επίπεδο της βάσης του εξαγώνου στο σημείο $\displaystyle{B}$ )
το σημείο $\displaystyle{S'}$ (το σχήμα $\displaystyle{BB'SK}$ είναι ορθογώνιο με πλευρές $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{a}$ την πλευρά δηλαδή του κανονικού εξαγώνου).
Άρα από την ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{HSO, OS'B'}$ προκύπτει:
$\displaystyle{BB'=BS'-B'S'=KS-SH=\lambda -x \ \ (1)}$

Ακόμα από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{OSH}$ θα είναι:
$\displaystyle{(OH)=\sqrt{(OS)^2+(SH)^2}=\sqrt{(O'K)^2+x^2}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+x^2}$
Δηλαδή:
$\displaystyle{(OH)=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+4x^2}\ \ (2)}$

Επομένως οι διαγώνιες του ρόμβου $\displaystyle{HA'B'C'}$ είναι:
$\displaystyle{(A'C')=(AC)=a\sqrt{3}\ \ (3)}$
και
$\displaystyle{(HB')=2(OH)=4\sqrt{a^2+4x^2} \ \ (4)}$

Άρα και το εμβαδόν του ρόμβου αυτού θα είναι:
$\displaystyle{E(HA'B'C')=\frac{1}{4}d_1d_2=a\sqrt{3}\sqrt{a^2+4x^2} \ \ (5)}$

Ακόμα η πλευρά του ρόμβου αυτού είναι:
$\displaystyle{(HA')=\sqrt{a^2+x^2} \ \ (6)}$

Τέλος σημειώνουμε το εμβαδόν του εξαγώνου και των ορθογωνίων τραπεζίων.

$\displaystyle{E(A B C D E F)}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \ \ (7)$ ,

$\displaystyle{ \ E(AA'B'B)=\frac{(2\lambda -x)a}{2} \ \ (8)}$

Απαντήσεις στα ερωτήματα του προβλήματος (σύμφωνα με τους τύπους (1), ...(8))

α) Αθροισμα μηκών των ακμών του δεκαέδρου:

$\displaystyle{N=6a+3 \lambda+3(\lambda-x)+9\sqrt{a^2+x^2}=6a+6\lambda -3x+9\sqrt{a^2+x^2}$

β) Εμβαδόν ολικής επιφάνειας:

$\displaystyle{ E_m=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+6\frac{(2\lambda -x)a}{2}+3\cdot a \sqrt{3}\sqrt{a^2+4x^2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+3(2\lambda -x)a+3\cdot a \sqrt{3}\sqrt{a^2+4x^2}}$

Το τρίτο ερώτημα θα αναρτηθεί σε άλλο μήνυμα και με σχόλια.

Κώστας Δόρτσιος

#3

parmenides51 έγραψε:3. Σε επίπεδο $\displaystyle{\pi}$ θεωρούμε κανονικό εξάγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta E Z}$ πλευράς μήκους $\displaystyle{\alpha}$ . Από το κέντρο $\displaystyle{ K}$ του εξαγώνου υψώνουμε κάθετη στο $\displaystyle{ \pi}$ και πάνω σε αυτήν παίρνουμε μήκος $\displaystyle{ (KH)=\lambda +x }$ όπου $\displaystyle{0<x<\lambda}$ . Στην συνέχεια από τις τρεις μη συνεχόμενες κορυφές $\displaystyle{A,\Gamma ,E }$ υψώνουμε καθέτους στο $\displaystyle{\pi }$ και προς την ίδια φορά της $\displaystyle{KH }$ και πάνω στις καθέτους αυτές παίρνουμε τμήματα $\displaystyle{(AA')=(\Gamma\Gamma')=({\color{red}EE}')=\lambda }$ αντίστοιχα .
Τα επίπεδα $\displaystyle{HA'\Gamma{\color{red}'}, H\Gamma' E'}$ και $\displaystyle{ HE'{\color{red}A}' }$ τέμνουν τις καθέτους στο επίπεδο $\displaystyle{\pi }$ οι οποίες άγονται από τις κορυφές $\displaystyle{B,\Delta,Z}$ στα σημεία $\displaystyle{B',\Delta',Z' }$ αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται στερεό του οποίου κορυφές του κανονικού εξαγώνου, τα σημεία $\displaystyle{A',B',\Gamma',\Delta', E', Z' }$ και το σημείο $\displaystyle{H}$ . Ζητούνται:
α) Το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των μηκών των ακμών του στερεού
β) το εμβαδόν $\displaystyle{S}$ της επιφάνεια του στερεού
γ) Οι τιμές $\displaystyle{\Sigma}$ και $\displaystyle{S}$ όταν $\displaystyle{x=0}$

Για το τρίτο ερώτημα παραθέτουμε δύο σχήματα όπου στο δεύτερο είναι $\displaystyle{SH=x=0}$
Πριν:

: Πολύεδρο 7.PNG (60.95 KiB) Προβλήθηκε 2115 φορές

Μετά:

: Πολύεδρο 8.PNG (58.17 KiB) Προβλήθηκε 2115 φορές

Έτσι το στερεό γίνεται ένα ορθό εξαγωνικό πρίσμα με βάση το κανονικό εξάγωνο και ύψος ίσο με $\displaystyle{\lambda}$
του οποίου εύκολα υπολογίζονται τα στοιχεία που ζητούνται.

Κώστας Δόρτσιος

ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση