Ασκήσεις

mcrae · #1

1.Έστω το δείγμα $\displaystyle{{x_1},{x_2},.....,{x_v}}$ με μέση τιμή $\displaystyle{\overline x = 4}$ και συντελεστή μεταβολής $\displaystyle{CV = 25\% }$ .Να αποδειχθεί ότι:
Α) η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι $\displaystyle{s = 1}$ .
Β) το κλάσμα $\displaystyle{A = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_v}^2}}{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_v}}}}$ είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος $\nu$ του δείγματος.
Γ) υπάρχει παρατήρηση $\displaystyle{{x_k}}$ που βρίσκεται μεταξύ του

και

.

2.Έστω $\displaystyle{{k_1},{k_2},..,{k_v}{\rm{ }}}$ με οι τιμές μιας μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ενός δείγματος με διασπορά $\displaystyle{{s^2} = 64}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = - \frac{1}{3}[{({k_1} - x)^3} + {({k_2} - x)^3} + ... + {({k_v} - x)^3}]}$ .
Α) αν $\displaystyle{{\rm{ }}f'(\overline x ) = 6400{\rm{ }}}$ να βρείτε το μέγεθος του δείγματος.
Β) αν $\displaystyle{f''(2\overline x ) = 1600}$ να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος.
Γ) να δειχθεί ότι καμία από τις παρατηρήσεις του δείγματος $\displaystyle{{k_1},{k_2},..,{k_v}}$ δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.

#2

mcrae έγραψε:Έστω το δείγμα $\displaystyle{{x_1},{x_2},.....,{x_v}}$ με μέση τιμή $\displaystyle{\overline x = 4}$ και συντελεστή μεταβολής $\displaystyle{CV = 25\% }$ .Να αποδειχθεί ότι:
Α) η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι $\displaystyle{s = 1}$ .
Β) το κλάσμα $\displaystyle{A = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_v}^2}}{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_v}}}}$ είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος ν του δείγματος.
Γ) υπάρχει παρατήρηση $\displaystyle{{x_k}}$ που βρίσκεται μεταξύ του 3 και 5.

ΛΥΣΗ

Α) Από $CV=25%\Leftrightarrow \frac{s}{{\bar{x}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{s}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow s=1$ έχουμε ότι $\frac{s}{{\bar{x}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{s}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow s=1$

Β) Είναι $A=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+...+{{x}_{v}}^{2}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{v}}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}}}{\sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}}$

και από $\displaystyle{\overline x = 4}$ έχουμε ότι $4=\frac{\sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}}{v}\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}=4v$

και από ${{s}^{2}}=\frac{1}{v}\left( \sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}-\frac{1}{v}\left( \sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}} \right)} \right)\Leftrightarrow 1=\frac{1}{v}\sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}}-{{\bar{x}}^{2}}\Leftrightarrow v=\sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}}-v{{4}^{2}}\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}}=17v$

επομένως $A=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+...+{{x}_{v}}^{2}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{v}}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{v}{x_{i}^{2}}}{\sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}}=\frac{17v}{4v}=\frac{17}{4}$

Γ) Αν κάθε παρατήρηση ${{x}_{k}}\le 3$ τότε $\sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}\le 3v$ δηλαδή $4v\le 3v\Leftrightarrow 4\le 3$ άτοπο

και αν κάθε παρατήρηση ${{x}_{k}}\ge 5$ τότε $\sum\limits_{i=1}^{v}{{{x}_{i}}}\ge 5v$ δηλαδή $4v\ge 5v\Leftrightarrow 4\ge 5$ άτοπο

άρα υπάρχει παρατήρηση $\displaystyle{{x_k}}$ που βρίσκεται μεταξύ του 3 και 5

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Θεοδωρος Παγωνης · #3

α) $\displaystyle{CV=\frac{s}{{\bar{x}}}\Leftrightarrow 0,25=\frac{s}{4}\Leftrightarrow s=1}$ .
β) Είναι $\displaystyle{{{s}^{2}}=\frac{1}{v}\left( \sum{x_{i}^{2}}-\frac{{{\left( \sum{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}{v} \right)\Leftrightarrow 1=\frac{1}{v}\sum{x_{i}^{2}}-{{\bar{x}}^{2}}\Leftrightarrow \sum{x_{i}^{2}}=17v}$ (1)
και $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}\Leftrightarrow \sum{{{x}_{i}}}=4v}$ (2) .
Από (1) και (2) έχω $\displaystyle{A=\frac{\sum{x_{i}^{2}}}{\sum{{{x}_{i}}}}=\frac{17v}{4v}=\frac{17}{4}}$ ανεξάρτητο του $\displaystyle{v}$ .
γ) Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι >5 τότε θα είχα $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}>\frac{5v}{v}=5>4}$ άτοπο .
Όμοια αν όλες οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 3 θα είχα $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}<\frac{3v}{v}=3<4}$ άτοπο.
Αν $\displaystyle{k}$ παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 5 και οι υπόλοιπες $\displaystyle{v-k}$ μικρότερες του 3 (χ.β.γ. οι $\displaystyle{k}$ πρώτες και οι $\displaystyle{v-k}$ υπόλοιπες ) τότε έχω :
$\displaystyle{{{x}_{1}}>5\Leftrightarrow {{x}_{1}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-4 \right)}^{2}}>1}$
$\displaystyle{{{x}_{2}}>5\Leftrightarrow {{x}_{2}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}>1}$
…
$\displaystyle{{{x}_{k}}>5\Leftrightarrow {{x}_{k}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k}}-4 \right)}^{2}}>1}$
και $\displaystyle{{{x}_{k+1}}<3\Leftrightarrow {{x}_{k+1}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k+1}}-4 \right)}^{2}}>1}$
$\displaystyle{{{x}_{k+2}}<3\Leftrightarrow {{x}_{k+2}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k+2}}-4 \right)}^{2}}>1}$
…
$\displaystyle{{{x}_{v}}<3\Leftrightarrow {{x}_{v}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{v}}-4 \right)}^{2}}>1}$
Οπότε $\displaystyle{{{\sum{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}}^{2}}>v\Leftrightarrow \frac{{{\sum{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}}^{2}}}{v}>1\Leftrightarrow {{s}^{2}}>1\Leftrightarrow s>1}$ , άτοπο.
Άρα υπάρχει μια τουλάχιστον παρατήρηση που βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 3 και 5.

Αν και με πρόλαβε ο κύριος Βασίλης , έτσι για τον κόπο που έκανα , γράφω την λύση.

maiksoul · #4

Καλησπέρα, στην παραπάνω λύση, του πολύ καλού συνάδελφου κυρίου Κακαβά, νομίζω πως υπάρχει κενό στην απάντηση του τελευταίου ερωτήματος , αφού το να δείξουμε πως υπάρχει παρατήρηση που βρίσκεται μεταξύ δυό συγκεκριμμένων αριθμών ΔΕΝ είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι : είτε όλες οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες του πρώτου αριθμού είτε όλες οι παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του δεύτερου αριθμού, διότι υπάρχει η περίπτωση κάποιες παρατηρήσεις να είναι μικρότερες του πρώτου αριθμού και οι υπόλοιπες παρατηρήσεις να είναι μεγαλύτερές του δεύτερου αριθμού! Κατά την γνώμη μου: εάν όλες οι παρατηρήσεις ήταν εκτός του διαστήματος των δύο αριθμών τότε :
>το τετράγωνο της διαφοράς ΚΑΘΕ παρατήρησης από τη μέση τιμή, είναι μεγαλύτερο της μονάδας
>το άθροισμα των παραπάνω τετραγώνων για όλες τις παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερο του ν
έτσι >η διακύμανση και κατεπέκταση και η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερες της μονάδας. ΑΤΟΠΟ.

#5

mcrae έγραψε: 2.Έστω $\displaystyle{{k_1},{k_2},..,{k_v}{\rm{ }}}$ με οι τιμές μιας μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ενός δείγματος με διασπορά $\displaystyle{{s^2} = 64}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = - \frac{1}{3}[{({k_1} - x)^3} + {({k_2} - x)^3} + ... + {({k_v} - x)^3}]}$ .
Α) αν $\displaystyle{{\rm{ }}f'(\overline x ) = 6400{\rm{ }}}$ να βρείτε το μέγεθος του δείγματος.
Β) αν $\displaystyle{f''(2\overline x ) = 1600}$ να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος.
Γ) να δειχθεί ότι καμία από τις παρατηρήσεις του δείγματος $\displaystyle{{k_1},{k_2},..,{k_v}}$ δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.

ΛΥΣΗ...(μετά την αβλεψία μου στο (1) ελπίζω το (2) να είναι οκ....)

Α) Έχομε από $\displaystyle{f(x) = - \frac{1}{3}[{({k_1} - x)^3} + {({k_2} - x)^3} + ... + {({k_v} - x)^3}]}$ παραγωγίζοντας ότι

${f}'(x)=[{{({{k}_{1}}-x)}^{2}}+{{({{k}_{2}}-x)}^{2}}+...+{{({{k}_{v}}-x)}^{2}}]$ και από $\displaystyle{{\rm{ }}f'(\overline x ) = 6400{\rm{ }}}$

προκύπτει ότι ${f}'(\bar{x})=[{{({{k}_{1}}-\bar{x})}^{2}}+{{({{k}_{2}}-\bar{x})}^{2}}+...+{{({{k}_{v}}-\bar{x})}^{2}}]=\sum\limits_{i=1}^{v}{{{({{k}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}$

άρα $\sum\limits_{i=1}^{v}{{{({{k}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}=6400\Leftrightarrow v{{s}^{2}}=6400\Leftrightarrow 64v=6400\Leftrightarrow v=100$

Β) Ακόμη από ${f}'(x)=[{{({{k}_{1}}-x)}^{2}}+{{({{k}_{2}}-x)}^{2}}+...+{{({{k}_{v}}-x)}^{2}}]$ παραγωγίζοντας προκύπτει ότι

${f}'(x)=-2[({{k}_{1}}-x)+({{k}_{2}}-x)+...+({{k}_{v}}-x)]=$

${f}''(x)=-2\left[ {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+...+{{k}_{v}}-vx \right]=-2\sum\limits_{i=1}^{v}{{{k}_{i}}}+2vx$ και επειδή $\sum\limits_{i=1}^{v}{{{k}_{i}}}=v\bar{x}$

έχουμε ότι ${f}''(x)=-2v\bar{x}+2vx$ και αφού $\displaystyle{f''(2\overline x ) = 1600}$ προκύπτει ότι

$-2v\bar{x}+4v\bar{x}=1600\Leftrightarrow 2v\bar{x}=1600\overset{v=100}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\bar{x}=80$

Γ) Αν υπάρχει έστω και μία τις τιμές (και όχι παρατηρήσεις ...) του δείγματος ${{k}_{\lambda }}<0$ τότε ${{k}_{\lambda }}-80<-80$ άρα

${{({{k}_{\lambda }}-80)}^{2}}>{{80}^{2}}=6400=\sum\limits_{i=1}^{v}{{{({{k}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}$ δηλαδή

$\sum\limits_{i=1}^{v-1}{{{({{k}_{i}}-80)}^{2}}}+{{({{k}_{\lambda }}-80)}^{2}}<{{({{k}_{\lambda }}-80)}^{2}}\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{v-1}{{{({{k}_{i}}-80)}^{2}}}<0$ που είναι άτοπο.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

hlkampel · #6

mcrae έγραψε:1.Έστω το δείγμα $\displaystyle{{x_1},{x_2},.....,{x_v}}$ με μέση τιμή $\displaystyle{\overline x = 4}$ και συντελεστή μεταβολής $\displaystyle{CV = 25\% }$ .Να αποδειχθεί ότι:
Α) η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι $\displaystyle{s = 1}$ .
Β) το κλάσμα $\displaystyle{A = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_v}^2}}{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_v}}}}$ είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος ν του δείγματος.
Γ) υπάρχει παρατήρηση $\displaystyle{{x_k}}$ που βρίσκεται μεταξύ του 3 και 5.

Νομίζω υπάρχει πρόβλημα στην εκφώνηση.

Το δείγμα 3,3,3,5,5,5

(και άλλα όμοια) ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος αλλά όχι το συμπέρασμα.

Θεοδωρος Παγωνης · #7

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:α) $\displaystyle{CV=\frac{s}{{\bar{x}}}\Leftrightarrow 0,25=\frac{s}{4}\Leftrightarrow s=1}$ .
β) Είναι $\displaystyle{{{s}^{2}}=\frac{1}{v}\left( \sum{x_{i}^{2}}-\frac{{{\left( \sum{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}{v} \right)\Leftrightarrow 1=\frac{1}{v}\sum{x_{i}^{2}}-{{\bar{x}}^{2}}\Leftrightarrow \sum{x_{i}^{2}}=17v}$ (1)
και $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}\Leftrightarrow \sum{{{x}_{i}}}=4v}$ (2) .
Από (1) και (2) έχω $\displaystyle{A=\frac{\sum{x_{i}^{2}}}{\sum{{{x}_{i}}}}=\frac{17v}{4v}=\frac{17}{4}}$ ανεξάρτητο του $\displaystyle{v}$ .
γ) Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι >5 τότε θα είχα $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}>\frac{5v}{v}=5>4}$ άτοπο .
Όμοια αν όλες οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 3 θα είχα $\displaystyle{\bar{x}=\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{v}<\frac{3v}{v}=3<4}$ άτοπο.
Αν $\displaystyle{k}$ παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 5 και οι υπόλοιπες $\displaystyle{v-k}$ μικρότερες του 3 (χ.β.γ. οι $\displaystyle{k}$ πρώτες και οι $\displaystyle{v-k}$ υπόλοιπες ) τότε έχω :
$\displaystyle{{{x}_{1}}>5\Leftrightarrow {{x}_{1}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-4 \right)}^{2}}>1}$
$\displaystyle{{{x}_{2}}>5\Leftrightarrow {{x}_{2}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}>1}$
…
$\displaystyle{{{x}_{k}}>5\Leftrightarrow {{x}_{k}}-4>1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k}}-4 \right)}^{2}}>1}$
και $\displaystyle{{{x}_{k+1}}<3\Leftrightarrow {{x}_{k+1}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k+1}}-4 \right)}^{2}}>1}$
$\displaystyle{{{x}_{k+2}}<3\Leftrightarrow {{x}_{k+2}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{k+2}}-4 \right)}^{2}}>1}$
…
$\displaystyle{{{x}_{v}}<3\Leftrightarrow {{x}_{v}}-4<-1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{v}}-4 \right)}^{2}}>1}$
Οπότε $\displaystyle{{{\sum{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}}^{2}}>v\Leftrightarrow \frac{{{\sum{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}}^{2}}}{v}>1\Leftrightarrow {{s}^{2}}>1\Leftrightarrow s>1}$ , άτοπο.
Άρα υπάρχει μια τουλάχιστον παρατήρηση που βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 3 και 5.

Αν και με πρόλαβε ο κύριος Βασίλης , έτσι για τον κόπο που έκανα , γράφω την λύση.

Υ.γ. Τώρα που ξανακοιτάζω πιο προσεκτικά , νομίζω ότι η διατύπωση στο 3ο ερώτημα πρέπει να διορθωθεί λίγο.
Το μεταξύ του 3 και 5 το εκλαμβάνω ως $\displaystyle{3<{{x}_{i}}<5}$ , το οποίο νομίζω δεν είναι 100% σωστό.
Νομίζω θα έπρεπε να λέει $\displaystyle{3\le {{x}_{i}}\le 5}$ .

#8

Αυτή είναι μία από τις ασκήσεις που είχα ανεβάσει και περιέχεται στο φυλλάδιο
με τις επαναληπτικές ασκήσεις γενικής που φτιάξαμε το 2012.

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Re: Ασκήσεις

Re: Ασκήσεις

Re: Ασκήσεις

Re: Ασκήσεις

Re: Ασκήσεις

Re: Ασκήσεις

Μέλη σε σύνδεση