mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 27, 2014 7:49 pm**

Από το συνάδελφο Παπαμικρούλη Δημήτρη προτείνεται η παρακάτω άσκηση από γνωστή συλλογή του mathematica και ζητείται μια δεύτερη γνώμη ειδικά για το τελευταίο ερώτημα.

Έστω

μια παραγωγίσιμη και αύξουσα συνάρτηση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και μια συνάρτηση

για την οποία ισχύει:

$h(x)=x\int\limits_{1}^{\frac{1}{x}}{f(xt)dt}-\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}+x$

α) Να αποδείξετε ότι: $h(x)=-2\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}+x$ .

β) Αν $\int\limits_{1}^{2}{f(t)dt}=\frac{1}{2}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=\frac{1}{2}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2)

γ) Αν

τότε:

i) Να μελετήσετε την συνάρτηση

ως προς τα κοίλα.

ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο K(1,h(1))

.

iii) Να δείξετε ότι $E\ge 4010$ , όπου

είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τον άξονα {x}'x

και τις ευθείες x=2006

και

.

EDIT: Προστέθηκε και το είδος μονοτονίας της άσκησης. Χίλια συγνώμη από αυτούς που ασχολήθηκαν χωρίς αντίκρισμα.
ΕDIT: Μη πυροβολείτε τον πιανίστα η άσκηση μιλούσε για φθίνουσα
viewtopic.php?f=56&t=6660&p=38014&hilit=4010#p38014

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 28, 2014 2:49 pm**

Ευχαριστώ πάρα πολύ για το γράψιμο. Θα ήθελα μια βοήθεια στο γ iii)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 29, 2014 11:50 am**

Καλημέρα, θα πάρω το θάρρος να ρωτήσω ,αν η άσκηση όπως έχει γραφεί έχει την σωστή εκφώνηση. Μήπως όσον αφορά την κοιλότητα , είχε δοθεί κάποιο στοιχείο για μονοτονία, το οποίο δεν αναφέρθηκε στην υπάρχουσα εκφώνηση;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 29, 2014 4:42 pm**

Για σας , είναι: h '(x) = - 2f(x) + 1 ,h(1) = 1 h '(1) = - 1

,άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $\displaystyle{K(1,h(1))$ είναι $y - 1 = - x + 1 \Leftrightarrow y = - x + 2$ . Στο διάστημα [2006,2008]

είναι $- x + 2 \le 0$ ,άρα το εμβαδόν που ορίζεται από τον χ΄χ και την εφαπτομένη είναι:

$\int\limits_{2006}^{2008} {(2 - x)dx = ... = 4010}$ . Τώρα αυτό που πρέπει(νομίζω) να συμβαίνει , είναι η γραφική παράσταση της

να είναι κάτω από την εφαπτομένη το οποίο εξασφαλίζεται μόνο αν η

είναι κοίλη, δηλαδή μόνο αν η

είναι γν. αύξουσα( και όχι φθίνουσα). Τότε η $h(x) \le - {\rm{x + 2}} \Leftrightarrow {\rm{ - h(x)}} \ge x - 2$ άρα $\int\limits_{2006}^{2008} {h(x)dx \ge ... = 4010}$ και έχουμε το ζητούμενο.

mathematica.gr

εμβαδό χωρίου

εμβαδό χωρίου

Re: εμβαδό χωρίου

Re: εμβαδό χωρίου

Re: εμβαδό χωρίου