μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#2

mathxl έγραψε: $I = \displaystyle \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}} dx}$

#3

mathxl έγραψε: $I = \displaystyle \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}} dx}$

Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle t=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ , έχουμε ότι

$\displaystyle -\frac{2}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx$ και $x=0\to t=+\infty$ , $x=1\to t=0$ .

Συνεπώς

$\displaystyle I=-2\int_{+\infty}^{0}\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt$ . Όμως

$\displaystyle2\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=2\int\frac{1}{t^{2}+1}-\frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=$

$\displaystyle2\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt+\int t\Big(\frac{1}{t^{2}+1}\Big){'}\,dt=2\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt+\frac{t}{t^{2}+1}-\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=$

$\displaystyle\arctan t+\frac{t}{t^{2}+1}+c$ . Επεται ότι

$\displaystyle I=\Big(\arctan t+\frac{t}{t^{2}+1}\Big)\Big|_{0}^{+\infty}=\frac{\pi}{2}$ .

#4

Πολύ ευκολότερα, σύμφωνα με την υπόδειξη του Δάσκαλου :

$\displaystyle I\mathop=\limits_{dx=-2\cos y\sin y}^{x=\cos^{2}y}=\Big(\frac{sin2y}{2}+y\Big)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$ .

Ωmega Man · #5

Λίγο ανορθόδοξα,
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{1/2}(1-x)^{-1/2}\;\;\textrm{d}x=\int_{0}^{1}x^{3/2-1}(1-x)^{1/2-1}\;\;\textrm{d}x=\textrm{B}(3/2,1/2)=\pi/2$ . Όπου $\textrm{B}$ η συνάρτηση βήτα.

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Μέλη σε σύνδεση