Ορθόκεντρο

#1

Το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , που σχηματίζεται απο τις ευθείες με εξισώσεις:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \varepsilon _1 :y = \lambda _1 x + \frac{a}{{\lambda _1 }} \\ \varepsilon _2 :y = \lambda _2 x + \frac{a}{{\lambda _2 }} \\ \varepsilon _3 :y = \lambda _3 x + \frac{a}{{\lambda _3 }} \\ \end{array} }$

α) βρίσκεται πάντα πάνω στην ευθεία : χ+α=0

β)Βρίσκεται πάντα πάνω στην ευθεία χ-α=0

γ)Ταυτίζεται πάντα με το περίκεντρο

δ)Ανήκει πάντα πάνω στον κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα $\displaystyle{ \sqrt {a^2 + 1} }$

Δίνεται πως:
$\displaystyle{ \lambda _1 \lambda _2 \lambda _3 \ne 0 \wedge \lambda _1 \ne \lambda _2 \ne \lambda _3 \ne \lambda _1 }$

#2

Το (α) είναι σωστό, αφού οι κορυφές του τριγώνου είναι:

$\displaystyle A\left(\frac{a}{\lambda _1\lambda _2},a\frac{\lambda _1+\lambda _2}{\lambda _1\lambda _2} \right),B\left(\frac{a}{\lambda _3\lambda _2},a\frac{\lambda _3+\lambda _2}{\lambda _3\lambda _2} \right),\Gamma \left(\frac{a}{\lambda _1\lambda _3},a\frac{\lambda _1+\lambda _3}{\lambda _1\lambda _3} \right)$ .

Τότε δύο από τα ύψη έχουν εξίσωση: $\dispalystyle y-a\frac{\lambda _1+\lambda _2}{\lambda _1\lambda _2}=-\frac{1}{\lambda _3}\left(x-\frac{a}{\lambda _1\lambda _2} \right), y-a\frac{\lambda _1+\lambda _3}{\lambda _1\lambda _3}=-\frac{1}{\lambda _3}\left(x-\frac{a}{\lambda _1\lambda _3} \right)$ ,

οπότε το ορθόκεντρο είναι $\displaystyle \left(-a,a\frac{1+\lambda _1\lambda _2+\lambda _1\lambda _3+\lambda _2\lambda _3}{\lambda _1\lambda _2\lambda _3} \right)$ .

#3

chris_gatos έγραψε:Το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , που σχηματίζεται απο τις ευθείες με εξισώσεις:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \varepsilon _1 :y = \lambda _1 x + \frac{a}{{\lambda _1 }} \\ \varepsilon _2 :y = \lambda _2 x + \frac{a}{{\lambda _2 }} \\ \varepsilon _3 :y = \lambda _3 x + \frac{a}{{\lambda _3 }} \\ \end{array} }$
.............................
.............................
Δίνεται πως:
$\displaystyle{ \lambda _1 \lambda _2 \lambda _3 \ne 0 \wedge \lambda _1 \ne \lambda _2 \ne \lambda _3 \ne \lambda _1 }$

Χρήστο, έχεις κάποια απόδειξη χωρίς πολλές πράξεις;
(έχει ενδιαφέρον με $\alpha \neq 0$ να δείξουμε ότι οι ευθείες δεν συντρέχουν!)

Ορθόκεντρο

Ορθόκεντρο

Re: Ορθόκεντρο

Re: Ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση