Ογκοι

papel · #1

Εστω τρεις ευθειες στο χωρο ανα τρεις μη συνεπιπεδες που περνανε απο το σημειο Ο. Εαν παρουμε δυο σημεια στην πρωτη Α1 , Α2 , αλλα δυο στην δευτερη Β1 ,Β2 και αλλα δυο στην τριτη εστω Γ1,Γ2 να δειξετε οτι :

$\displaystyle{\frac{{{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}}}}}{{{V_{O{A_2}{B_2}{\Gamma _2}}}}} = \frac{{\left| {O{A_1}} \right|}}{{\left| {O{A_2}} \right|}} \cdot \frac{{\left| {O{B_1}} \right|}}{{\left| {O{B_2}} \right|}} \cdot \frac{{\left| {O{\Gamma _1}} \right|}}{{\left| {O{\Gamma _2}} \right|}}}$

οπου V o ογκος του αντιστοιχου τετραεδρου.

Ιστοσελίδα · #2

Σχηματίζονται τα τετράεδρα $\displaystyle{ OA_1 B_1 \Gamma _1 }$ και $\displaystyle{ OA_2 B_2 \Gamma _2 }$ με κοινή την στερεή γωνία Ο, και έστω $\displaystyle{ \Gamma {\rm H}_1 }$ και $\displaystyle{ \Gamma {\rm H}_2 }$ τα δύο τους ύψη που φέρνουμε από τις κορυφές $\displaystyle{ \Gamma _1 }$ και $\displaystyle{ \Gamma _2 }$ αντίστοιχα, τότε:

$\displaystyle{ \frac{{V_{OA_1 B_1 \Gamma _1 } }}{{V_{OA_2 B_2 \Gamma _2 } }} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \left( {OA_1 B_1 } \right) \cdot \Gamma _1 H_1 }}{{\frac{1}{3} \cdot \left( {OA_2 B_2 } \right) \cdot \Gamma _2 H_2 }} = \frac{{\left( {OA_1 B_1 } \right)}}{{\left( {OA_2 B_2 } \right)}} \cdot \frac{{\Gamma _1 H_1 }}{{\Gamma _2 H_2 }} }$ (1)

όμως $\displaystyle{ \frac{{\left( {OA_1 B_1 } \right)}}{{\left( {OA_2 B_2 } \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}OA_1 \cdot OB_1 \cdot \eta \mu A_1 OB_1 }}{{\frac{1}{2}OA_2 \cdot OB_2 \cdot \eta \mu A_2 OB_2 }} = \frac{{OA_1 \cdot OB_1 }}{{OA_2 \cdot OB_2 }} }$ (2)

Ακόμα $\displaystyle{ \frac{{\Gamma _1 H_1 }}{{\Gamma _2 H_2 }} = \frac{{O\Gamma _1 }}{{O\Gamma _2 }} }$ (3) από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{ OH_1 \Gamma _1 }$ και $\displaystyle{ OH_2 \Gamma _2 }$

από τις σχέσεις (1) ,(2) και (3) έπεται το ζητούμενο.

papel · #3

κ.Καρδαμιτση σας ευχαριστω πολυ για την κομψη σας λυση οπως παντα.

#4

papel έγραψε:Εστω τρεις ευθειες στο χωρο ανα τρεις μη συνεπιπεδες που περνανε απο το σημειο Ο. Εαν παρουμε δυο σημεια στην πρωτη Α1 , Α2 , αλλα δυο στην δευτερη Β1 ,Β2 και αλλα δυο στην τριτη εστω Γ1,Γ2 να δειξετε οτι :

$\displaystyle{\frac{{{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}}}}}{{{V_{O{A_2}{B_2}{\Gamma _2}}}}} = \frac{{\left| {O{A_1}} \right|}}{{\left| {O{A_2}} \right|}} \cdot \frac{{\left| {O{B_1}} \right|}}{{\left| {O{B_2}} \right|}} \cdot \frac{{\left| {O{\Gamma _1}} \right|}}{{\left| {O{\Gamma _2}} \right|}}}$

οπου V o ογκος του αντιστοιχου τετραεδρου.

Πολύ ωραία η λύση του Σπύρου. Ας δώσω άλλη μία.

$\frac{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}}}{V_{O{A_2}{B_2}{\Gamma _2}}}= \frac{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}}}{V_{O{A_1}{B_1}{\Gamma _2}}} \cdot \frac{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _2}}}{V_{O{A_1}{B_2}{\Gamma _2}}}\cdot \frac{V_{{\rm O}{A_1}{B_2}{\Gamma _2}}}{V_{O{A_2}{B_2}{\Gamma _2}}}$

Τώρα εύκολα βλέπουμε (ακολουθεί παρακάτω, στην (*)) ότι $\frac{V_{{\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}}}{V_{O{A_1}{B_1}{\Gamma _2}}} = \frac{|O\Gamma_1|}{|O\Gamma_2|}$ και όμοια οι άλλοι δύο λόγοι. Το αποτέλεσμα έπεται.

Μένει η (*). Αυτό όμως είναι αληθές γιατί τα ${\rm O}{A_1}{B_1}{\Gamma _1}, O{A_1}{B_1}{\Gamma _2}\,$ έχουν κοινή βάση $OA_1B_1\,$ και εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο λόγος των υψών τους ισούται με $\frac{|O\Gamma_1|}{|O\Gamma_2|}$ . Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ογκοι

Ογκοι

Re: Ογκοι

Re: Ογκοι

Re: Ογκοι

Μέλη σε σύνδεση