Τέλεια τετράγωνα

Antonis_Z · #1

Έστω

φυσικός.Αν οι αριθμοί 3n+1,4n+1

είναι τέλεια τετράγωνα,να αποδείξετε ότι 7|n

.

asxetos · #2

Έστω $\displaystyle{ 3n+1=x^2}$ , $\displaystyle{ 4n+1=y^2}$ .
Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση με 4 και τη δεύτερη με 3, αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει:
$\displaystyle{ 4x^2-3y^2=1}$ .

Θέτοντας $\displaystyle{ x=13a+45b}$ , $\displaystyle{ y=15a+52b}$ έχουμε
$\displaystyle{ a^2-12b^2=1}$ (*), μια εξίσωση Pell.

Εύκολα προκύπτει τώρα ότι όλες η λύσεις της (*) είναι οι $\displaystyle{ (a_n,b_n)}$ με $\displaystyle{ a_{k+2}=14a_{k+1}-a_k,a_1=7,a_2=97}$ και $\displaystyle{ b_{k+2}=14b_{k+1}-b_k,b_1=2,b_2=28}$ μαζι με την προφανη $\displaystyle{ (1,0)}$ .Παρατηρούμε όμως ότι $\displaystyle{ a_{k+2}\equiv a_k \pmod 7$ , άρα $a_k \equiv \begin{cases} & 0 \text{ k odd}\\ & -1 \text{ k even} \end{cases} \pmod 7}$ .Ομοίως $\displaystyle{ b_k \equiv \begin{cases} & 2 \text{ k odd}\\ & 0 \text{ k even} \end{cases} \pmod 7}$ .

Τώρα $\displaystyle{ x=13a_k+45b_k}$ , επομένως $\displaystyle{ 3n+1=x^2\Leftrightarrow 3n+1=169a_k^2+1170a_kb_k+2025b_k^2}$ .

Θεωρώντας την παραπάνω εξίσωση $\displaystyle{ \pmod 7}$ και διακρίνοντας περιπτώσεις ως προς την αρτιότητα του

προκύπτει ότι:
$\displaystyle{ 3n \equiv 0 \pmod 7\Rightarrow 7|n}$ , αφού $\displaystyle{ \gcd(3,7)=1}$ και ο 7 είναι πρώτος.

Και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Δεν ήταν λίγο εύκολη για Seniors??

sokratis lyras · #3

asxetos έγραψε:
Δεν ήταν λίγο εύκολη για Seniors??

Pell για μικρούς? Μάλλον δύσκολο.
Εκτός αν έχεις κάτι άλλο στο μυαλό σου.

Antonis_Z · #4

Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Engel.
Έχω μια απορία.

Αν 3n+1=x^2,4n+1=y^2

,τότε θεωρώ ότι οι ακολουθίες x_k,y_k

είναι:

για τη

για την

(

πάντα).
Έτσι, το

θα είναι ισότιμο με

ή

(εναλλάξ).

Πού υπάρχει το πρόβλημα;

Τέλεια τετράγωνα

Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση