Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε f(a^2+f(b)+c) = af(a)+f(b+c) ,

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}.$

(Να θεωρήσετε δύο περιπτώσεις: $0\in \Bbb{N}$ και $0\notin \Bbb{N}$ )

Petros N. · #2

Για

παίρνω ότι f(z)+f(1)=f(z+f(1)), z=c+1>1

Για

έχω

, αφού

Έστω υπάρχει

με $f(v)+1 \neq f(1)+v$ ΧΒΓ T=f(1)+v-1-f(v)>0

Τότε στη

για

έχω

Απο την τελευταία προκύπτει ότι η

είναι άνω φραγμένη κάτι που αντιτίθεται στην (1)
άτοπο.

Άρα $f(v)+1=f(1)+v \implies f(v)=v+k$ και επαληθεύοντας f(v)=v

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}.$

$\bullet \ 0\notin \Bbb{N}$
Θα δείξουμε ότι η

είναι 1-1.
Έστω ότι υπάρχουν k>l

με

Εύκολα παίρνουμε f(c+k)=f(c+l)

οπότε

για κάθε

δηλαδή η

είναι τελικά περιοδική και επομένως το σύνολο τιμών της είναι πεπερασμένο.
Αυτό είναι άτοπο αφού f(a^2+f(b)+c) = af(a)+f(b+c)>a ,

δηλαδή η

δεν είναι άνω φραγμένη.

Από τις σχέση f(a^2+f(b)+c) = f(a^2+f(c)+b) ,

βρίσκουμε

όπου

σταθερά, και αντικαθιστώντας A=0.

$\bullet \ 0\in \Bbb{N}$
Αν υπάρχει $x_0\in \Bbb{N}$ ώστε f(x_0)=0

τότε για

παίρνουμε

Για

είναι

οπότε

και αντικαθιστώντας f(1)=0

ή

Αν $f(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \Bbb{N}$ τότε εργαζόμαστε όπως στην προηγούμενη περίπτωση και βρίσκουμε f(x)=x.

#4

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=578359

#5

Ενδιαφέρον έχουν και οι επόμενες παραλλαγές:

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(a^2+f(b)+c) = af(a)+f(b+c) ,

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}.$

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(a^2+f(b)+c) = af(a)+f(b+c) ,

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}^+.$

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$

Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξ)

Μέλη σε σύνδεση