mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 11, 2014 6:57 pm**

Στον πίνακα έχουμε γραμμένους τους αριθμούς από το

μέχρι το

. Σε κάθε βήμα δικαιούμαστε να διαγράψουμε οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα, έστω τους a,b,c

και να γράψουμε τον a^3 + b^3 + c^3

. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι να μείνει μόνο ένας αριθμός γραμμένος στον πίνακα.

Να δειχθεί ότι ο τελικός αριθμός δεν μπορεί να ισούται με 2013^3

.

$\rule{200pt}{1pt}$

Από Καζακστάν. Εκτός από την λύση που πιστεύω ότι είχαν υπόψη οι θεματοθέτες βλέπω ακόμη μία πολύ σύντομη λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 12, 2014 12:45 am**

Ωραία εφαρμογη των αναλοίωτων.

Έστω S_0=1+2+...+25=325

και

το αθροισμα των αριθμών που απομένουν μετά την εφαρμογή της διαδικασίας i φορές.

Παρατηρούμε ότι $S_{i+1}=S_i-a-b-c+a^3+b^3+c^3 \equiv S_i \pmod 3$ , από το μικρό θεώρημα του Fermat. Άρα για κάποιο φυσικό k $2013^3=S_k \equiv S_{k-1}\equiv ...\equiv S_0=325 \pmod 3$ δηλαδή $0\equiv 1 \pmod 3$ , άτοπο.

Και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 12, 2014 2:31 pm**

Αυτή είναι η λύση που πρέπει να ήθελαν οι θεματοθέτες. Υπάρχει και μια άλλη αρκετά σύντομη λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 12, 2014 4:47 pm**

Κε Δημήτρη, μήπως εννοείται την εικασία του Euler, που είναι επέκταση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat (εδώ);

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 12, 2014 5:16 pm**

Η δική μου απορία είναι γιατί έβαλαν έναν τόσο μικρό αριθμό, τον $2013^{3}$ , ότι δεν μπορεί να ισούται με τον τελικό αριθμό, αφού μόνο π.χ ο

$24^{3}= 2^{3} \times 3^{3} \times 4^{3}=8 \times 27 \times 64>3 \times 11 \times 61(=2013)$ και άρα $( 24^{3} )^{3}> 2013^{3}$

Επίσης $16^{3}=2^3 \times 2^3 \times 4^3=8 \times 8 \times 64=4 \times 16 \times 64>3 \times 9 \times 61(=2013)$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 12, 2014 5:33 pm**

Αν δε χάνω κάτι, μπορούμε να πάρουμε P_i

το γινόμενο μετά από

βήματα. Τότε από ΑΜ-ΓΜ ο τελικός αριθμός είναι:

$P_{12} \geq 3P_{11} \geq ... \geq 3^{12}P_0 = 81^3\times 25! > 2013^3$ όπως μπορεί να δειχτεί εύκολα.