ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

kbatsos · #1

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να με βοηθήσετε να λύσω το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων.
$f^{\prime}^{\prime}(t)=g(t)$
$g^{\prime}^{\prime}(t)=f(t)$
Βρίσκω 2 πραγματικές και 2 μιγαδικές ρίζες, είναι σωστό;

#2

kbatsos έγραψε:Καλησπέρα σας, θα ήθελα να με βοηθήσετε να λύσω το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων.
$f^{\prime}^{\prime}(t)=g(t)$
$g^{\prime}^{\prime}(t)=f(t)$
Βρίσκω 2 πραγματικές και 2 μιγαδικές ρίζες, είναι σωστό;

Ενδείκνυται η απαλοιφή!

Προκύπτει

$\displaystyle{f^{(4)}(t)=f(t)}$

η οποία έχει τη γενική λύση

$\displaystyle{f(t)=ae^t+be^{-t}+c\sin x+d\cos x,~a,b,c,d\in \mathbb{R}.}$

Τότε

$\displaystyle{g(t)=ae^t+be^{-t}-c\sin x-d\cos x,~a,b,c,d\in \mathbb{R}.}$

kbatsos · #3

Όταν ανέφερα 2 πραγματικές και 2 μιγαδικές ρίζες αναφερόμουν στις ιδιοτιμές τις χαρακτηριστικής εξίσωσης $r^{4}-1=0$ που προκύπτει μετά από την απαλοιφή που αναφέρατε,( $\displaystyle{f^{(4)}(t)-f(t)}=0$ ).
Έτσι έχουμε τις εξής ρίζες: 1,-1,i,-i

συνεπώς η λύση μου αποτελείται από δύο κομμάτια, ένα που προκύπτει από τις πραγματικές ρίζες και ένα που προκύπτει από τις μιγαδικές.
Από τις πραγματικές έχουμε το $\displaystyle{ae^t+be^{-t}$ και από τις μιγαδικές το $c\sin x+d\cos x$ . Απλά επειδή δε σπουδάζω μαθηματικό, δεν έχω βρει μία απόδειξη ώστε να μπορέσω να προσθέσω αυτά τα δύο κομμάτια.
Αν μπορείτε πείτε μου μία σχετική βιβλιογραφία.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

Μέλη σε σύνδεση