Ανισότητα με γινόμενο!

G.Bas · #1

Μια νέα Ανισότητα που κατασκεύασα τώρα το βράδυ!

Αν

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γινόμενο

τότε να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\geq\frac{3}{2}.}$

Petros N. · #2

Φαντάζομαι το αριστερό μέλος είναι $\frac{9}{2}$ . Από Cauchy-Schwarz, AM-GM είναι:

$\displaystyle LHS=\frac{1}{2} \sum_{cyc}{\frac{a+b}{ab}} \sum_{cyc}{\frac{1}{a+b}} \geq \frac{1}{2} [\sum_{cyc}{\frac{1}{\sqrt{ab}}]^2 \geq \frac{1}{2} [\frac{3}{\sqrt[6]{abc}}]^2 = \frac{9}{2}=RHS$

G.Bas · #3

Γειά σου Πέτρο.

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες. Τελικά, δεν προέκυψε τόσο καλή όσο φανταζόμουν μιας και με το φράγμα 3/2 είχα διαφορετική λύση. Την παραθέτω όμως.

jim.jt · #4

Αν δεν κάνω λάθος, κι από αυτήν την λύση προκύπτει το $\displaystyle \frac{9}{2}$ .

Όπως είναι και στην προηγούμενη λύση:

$\displaystyle \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\frac{1+a^2b}{a}+\frac{1+b^2c}{b}+\frac{1+c^2a}{c}=$

$\displaystyle\frac{abc+a^2b}{a}+\frac{abc+b^2c}{b}+\frac{abc+c^2a}{c}=b(a+c)+c(a+b)+a(b+c)$ .

Έτσι από Cauchy-Schwarz και AM-GM:

$\displaystyle 2LHS\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\geq 9\Leftrightarrow LHS\geq \frac{9}{2}$ .

Ανισότητα με γινόμενο!

Ανισότητα με γινόμενο!

Re: Ανισότητα με γινόμενο!

Re: Ανισότητα με γινόμενο!

Re: Ανισότητα με γινόμενο!

Μέλη σε σύνδεση