Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

KARKAR · #1

: Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Υπολογίστε τα μήκη a,b,c,d,x

με όσο γίνεται λιγότερη τριγωνομετρία

#2

KARKAR έγραψε:
Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα.png
Υπολογίστε τα μήκη με όσο γίνεται λιγότερη τριγωνομετρία

Γεια σου Θανάση.

$\displaystyle{a = 2\sqrt 5 ,b = 2\sqrt 6 ,c = 3\sqrt 5 ,d = 6\sqrt 6 ,x = 9}$
Η πλήρης λύση αργότερα, αφού ελέγξω πρώτα τα αποτελέσματα.

Και τώρα η λύση χωρίς τριγωνομετρία.

Στο σχήμα του Θανάση. Θεώρημα διχοτόμων και Πυθαγόρειο, διαδοχικά, στο τρίγωνο ACS

:

● $\displaystyle{\frac{c}{a} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow c = \frac{3}{2}a}$
$\displaystyle{{a^2} + 25 = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 25 = \frac{{9{a^2}}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = 2\sqrt 5 }$ και $\boxed{c = 3\sqrt 5 }$

● Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ABS

: $\displaystyle{{b^2} = {a^2} + 4\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = 2\sqrt 5 } }$ $\boxed{b = 2\sqrt 6 }$

● Θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο BSD

: $\displaystyle{\frac{3}{x} = \frac{{2\sqrt 6 }}{d} \Leftrightarrow d = \frac{{2x\sqrt 6 }}{3}}$ (1)

● Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ASD

:

$\displaystyle{{d^2} = {a^2} + {(x + 5)^2} \Leftrightarrow \frac{{24{x^2}}}{9} = {x^2} + 10x + 45 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 27 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} }$ $\boxed{x=9}$

Οπότε από την (1)

: $\boxed{d = 6\sqrt 6 }$

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε τα μήκη με όσο γίνεται λιγότερη τριγωνομετρία

: Δύο δεδομένα.png (33.1 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

με βάσει την Aπολλώνια κατασκευή του σχήματος τα ζητούμενα προκύπτουν αβίαστα χωρίς ίχνος τριγωνομετρίας.

Και είναι λοιπόν :

${b^2} = 2 \cdot 12 \Rightarrow b = 2\sqrt 6$

${a^2} = 2 \cdot 10 \Rightarrow a = 2\sqrt 5$

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{{x + 9}}{6} \Rightarrow x = 9$ (Και τα σημεία D,B,K,C

αποτελούν αρμονική σημειοσειρά)

$\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow c = 3\sqrt 5$

$\dfrac{d}{b} = 3 \Rightarrow d = 6\sqrt 6$ .

Νίκος

Φιλικά Νίκος

anastasispk · #4

Μοιάζει με τη λύση του Γιώργου..
Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου για το ASC:

$\frac{2}{3}=\frac{a}{c}\Leftrightarrow c= \frac{3}{2}a$

από νόμο συνημιτόνων για το SBC:
$cos\varphi = \frac{b^{2}+c^{2}-9}{2bc}$

από νόμο συνημιτόνων για το SCD:
$cos\varphi = \frac{c^{2}+d^{2}-x^{2}}{2cd}$
$cos\varphi = \frac{a}{b}$

Άρα: $\frac{a}{b}=\frac{ b^{2} + c^{2} - 9}{2bc}$
$2ca = b^{2}+c^{2}-9$
όμως από πυθαγόρειο: $\begin{Bmatrix} a^{2}+4 = &b^{2} \\ a^{2}+25 = &c^2 \end{Bmatrix}$
$2ca = 2a^{2} +20$
$a^{2} - ca + 10 = 0 \Leftrightarrow a^2 - \frac{3}{2}a^{2}+10=0\Leftrightarrow a^2 = 20\rightarrow a=2\sqrt{5}$
άρα: $c=3\sqrt{5}$ , $b=2\sqrt{6}$ , x=9

, $d=6\sqrt{6}$

Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

Re: Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

Re: Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

Re: Δύο δεδομένα , πέντε ζητούμενα

Μέλη σε σύνδεση