δακτύλιος-πηλίκο

papakakakos · #1

Αν έχουμε ένα δακτύλιο-πηλίκο ${\mathbb{R}}[x]/{I}$ αλλά το ιδεώδες

αποτελείται από πολλά πολυώνυμα. Πώς τον χειριζόμαστε? Για να βρούμε αν είναι σώμα, ακέρια περιοχή κτλ.. Για ένα πολυώνυμο ξέρω.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

Δεν έχει σημασία αν το ιδεώδες παράγεται από ένα ή περισσότερα πολυώνυμα.
Αρκεί να είναι πρώτο ιδεώδες για να είναι ο δακτύλιος-πηλίκο ακεραία περιοχή και μέγιστο ιδεώδες για να είναι ο δακτύλιος-πηλίκο σώμα.

Τώρα το πώς βρίσκουμε αν ένα ιδεώδες είναι πρώτο ή μέγιστο, εξαρτάται από την περίπτωση.

BAGGP93 · #3

Αν το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ είναι πρώτο, τότε ο δακτύλιος πηλίκο $\displaystyle{\left(\mathbb{R}_{[x]}/I,+,\cdot \right)}$

είναι ακέραια περιοχή και αντίστροφα.

Αν το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ είναι μεγιστικό, τότε ο δακτύλιος πηλίκο $\displaystyle{\left(\mathbb{R}_{[x]}/I,+,\cdot \right)}$

είναι σώμα και αντίστροφα.

Αν δεν ξέρεις τι είναι το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ , τότε προσπάθησε να βρεις κάποιον επιμορφισμό δακτυλίων

$\displaystyle{f:\mathbb{R}_{[x]}\longrightarrow R}$ , όπου $\displaystyle{\left(R,+\,\cdot\right)}$ είναι κάποιος

γνωστός δακτύλιος, του οποίου ο πυρήνας να είναι το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ .

Τότε, από το πρώτο Θεώρημα Ισομορφισμών, θα έχεις : $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}/I\simeq S}$ και από αυτό θα

αποφανθείς για το τι είναι ο πηλικο-δακτύλιος.

Αν όχι, τότε εξαρτάται από το ιδεώδες $\displaystyle{I}$ .

Για εξάσκηση, μέλετησε τον πηλικο-δακτύλιο $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}/I}$ , όπου $\displaystyle{I}$ είναι το

κύριο ιδεώδες που παράγεται από το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2+1\in\mathbb{R}_{[x]}}$ .

Επί πλέον, μελέτησε τον πηλικο-δακτύλιο $\displaystyle{\mathbb{Z}_{[x]}/J}$ , όπου $\displaystyle{J}$

είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x)=x\in\mathbb{Z}_{[x]}}$ , δηλαδή $\displaystyle{J=<x>}$ .

#4

Ένα θεώρημα που απαντάει τελικά στο συγκεκριμένο ερώτημα - τι γίνεται με τα ιδεώδη που παράγονται από περισσότερα πολυώνυμα - είναι το εξής:

Θεώρημα: Έστω $\mathbb{F}$ ένα σώμα. Τότε κάθε ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων ${\mathbb{F}}[x]$ είναι κύριο.

Αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το αν ένα ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων ${\mathbb{F}}[x]$ δίνεται ότι παράγεται από περισσότερα του ενός πολυώνυμα π.χ. $I=\langle{p_1,p_2,\ldots,p_{k}}\rangle$ , πάντοτε υπάρχει ένα πολυώνυμο

- ο κοινός διαιρέτης των πολυωνύμων $p_1,p_2,\ldots,p_{k}$ - πού παράγει το

, δηλαδή $I=\langle{q}\rangle$ . Έτσι το πρόβλημα "πέφτει" τελικά στην περίπτωση διερεύνησης του κατά πόσο ο δακτύλιος-πηλίκο ${\mathbb{F}}[x]/\langle{q}\rangle$ είναι ακέραια περιοχή ή σώμα.

Υ.Γ.1. Μια τυπική μέθοδος αντιμετώπισης τέτοιων προβλημάτων είναι αυτή που αναφέρει παραπάνω ο Βαγγέλης Παπαπέτρος.
Υ.Γ.2. Το παραπάνω θεώρημα δεν ισχύει για δακτυλίους πολυωνύμων με περισσότερες της μιας μεταβλητές.
Υ.Γ.3. Η απόδειξη του θεωρήματος δεν είναι δύσκολη.

papakakakos · #5

Άρα για πολυώνυμα μιας μεταβλητής βρίσκω το ΜΚΔ των πολυωνύμων του Ι και χειρίζομαι τον δακτύλιο-πηλίκο με ένα πολυώνυμο?
Και για πολυώνυμα με 2 μεταβλητές τι κάνουμε?

#6

papakakakos έγραψε:..Και για πολυώνυμα με 2 μεταβλητές τι κάνουμε?

Χωρίς την παραμικρή διάθεση ειρωνείας ή εμπαιγμού, θα έλεγα "κολυμπάμε"!

$\bullet$ Στους πολυωνυμικούς δακτυλίους με περισσότερες της μιας μεταβλητές δεν είναι όλα τα ιδεώδη κύρια, δηλαδή δεν παράγονται από ένα πολυώνυμο. Μια έκδοση του θεωρήματος βάσης του Hilbert λέει ότι όλα τα ιδεώδη ενός δακτυλίου πολυωνύμων ${\mathbb{F}}[x_1,x_2,\ldots,x_k]$ , όπου ${\mathbb{F}}$ είναι σώμα, είναι πεπερασμένα παραγόμενα, δηλαδή για κάθε ιδεώδες υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός πολυωνύμων που παράγει το συγκεκριμένο ιδεώδες.

Ένας τρόπος αντιμετώπισης κάποιων προβλημάτων είναι μέσω των ιδεωδών των μονωνύμων. Αλλά η γενική θεωρία είναι πολύ εκτεταμένη για να την γράψει κανείς, έστω και περιληπτικά, σε μια δημοσίευση.

$\bullet$ Επί του συγκεκριμένου ενδιαφέρουσα είναι η ασθενής εκδοχή του θεωρήματος Nullstellensatz του Hilbert που λέει ότι αν το σώμα ${\mathbb{F}}$ είναι αλγεβρικά κλειστό (όπως π.χ. το ${\mathbb{C}}$ ), τότε κάθε μέγιστο ιδεώδες του ${\mathbb{F}}[x_1,x_2,\ldots,x_k]$ γράφεται με την μορφή

$I=\langle{x_1-a_1,x_2-a_2,\ldots,x_k-a_{k}}\rangle$ , $a_i\in{\mathbb{F}}\,,\;\;i=1,2,\ldots,k$ .

Δυστυχώς, λίγη βοήθεια μπορεί να δοθεί σε ένα τόσο γενικό ερώτημα.

papakakakos · #7

Μπορώ κάπου να διαβάσω τι γίνεται με δακτυλίους-πηλικό που το

παράγεται απο 2 ή 3 πολυώνυμα?
Γιατί δεν μπορώ να βρω πώς δείχνουμε αν έχει μηδενοδιαιρέτες ή αν είναι σώμα. Που σε ${\mathbb{R}[x]}/{I}$ όπου I=<f(x)>

αρκεί να δείξουμε οτι το f(x)

είναι ανάγωγο και τότε είναι σώμα. Εδώ αρκεί να βρούμε ΜΚΔ των πολυωνύμων =1?

#8

papakakakos έγραψε:Μπορώ κάπου να διαβάσω τι γίνεται με δακτυλίους-πηλικό που το παράγεται απο 2 ή 3 πολυώνυμα?
Γιατί δεν μπορώ να βρω πώς δείχνουμε αν έχει μηδενοδιαιρέτες ή αν είναι σώμα. Που σε ${\mathbb{R}[x]}/{I}$ όπου αρκεί να δείξουμε οτι το είναι ανάγωγο και τότε είναι σώμα. Εδώ αρκεί να βρούμε ΜΚΔ των πολυωνύμων =1?

Αγαπητέ papakakakos

Ένα ιδεώδες που παράγεται από περισσότερα από ένα πολυώνυμα ισούται με το ιδεώδες που παράγεται από τον κοινό διαιρέτη των πολυωνύμων αυτών.
Αναφέρθηκε παραπάνω αυτό.

Φιλικά

edit: 4:53 3/7/14

papakakakos · #9

Δεν νομίζω οτι ρώτησα αυτό πάλι. Όπως και να έχει πάντως σας ευχαριστώ.

δακτύλιος-πηλίκο

δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Re: δακτύλιος-πηλίκο

Μέλη σε σύνδεση