Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθεί η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση $f:R \to R$ , η οποία έχει την ιδιότητα : για κάθε $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in R$ με $x_{1}+x_{2}+x_{3}=y_{1}+y_{2}+y_{3}=0$ ισχύει $f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})=f(y_{1})+f(y_{2})+f(y_{3})$

#2

Εύκολα βρίσκουμε

f(x+y)+f(-x)+f(-y)=3f(0)

(1)

η οποία με y=0

μας δίνει

. (2)

Από (1) και (2) για κάθε $\displaystyle{a,b\in \mathbb{R}}$ παίρνουμε

$\displaystyle{f(a+b)=3f(0)-f(-a)-f(-b)=[f(0)+f(a)+f(-a)]-f(-a)-f(-b)=f(a)-f(-b)+f(0)=f(a)+f(b)-f(0)}$

Συνεπώς, η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{g}$ που ορίζεται για κάθε πραγματικό

με

ικανοποιεί την

g(a+b)=g(a)+g(b)

για κάθε $\displaystyle{a,b\in \mathbb{R}}$ .

Άρα g(x)=Ax

για κάθε

(

:σταθερά).

Συνεπώς

f(x)=Ax+C

,

σταθερές.

Αχιλλέας

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση