Σωστό ή λάθος;

peter · #1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ με την ιδιότητα: f(x+1)-f(x)=x

για κάθε $x\in \mathbb R$ .

(α) Δώστε παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης.

(β) Αποδείξτε ότι για κάθε x>0

υπάρχει

τέτοιο ώστε $f{'}(t_x)=x$ . Έπεται ότι $\lim\limits_{x\to +\infty}f{'}(x)=+\infty$ ;

mathxl · #2

Για το
α) Μια τέτοια είναι η $f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + \frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2},x \in R$
Για το
β) Κάνουμε ΘΜΤ στο [χ,χ+1]
υπάρχει ${t_x} \in \left( {x,x + 1} \right):f'\left( {{t_x}} \right) = \frac{{f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)}}{{x + 1 - x}} = x$
όταν χ τείνει στο +οο τότε και ${t_x} \to + \infty$
άρα $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f'\left( {{t_x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty$
Τώρα για το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f'\left( x \right)$ θα το δω από αύριο gnight

mathxl · #3

Αδυνατώ να απαντήσω στο ζητούμενο. Μπορούμε να απαντήσουμε με σιγουριά Λ ή Σ; Φαντάζομαι εννοείς και την λέξη "πάντα". Ξέρουμε κάτι άλλο εκτός από το ότι είναι μία φορά παραγωγίσιμη; Θα περιμένω με ενδιαφέρον μια εξήγηση. Προσπαθούσα να βρω αντιπαράδειγμα αλλά δεν μπορώ...ποντάρω στο Λ (το παράδειγμα μου δείχνει Σ)

Ποντάρω στο Λ σκεπτόμενος και αυτά viewtopic.php?f=9&t=3283&p=17654#p17654 αλλά είχαμε και επιπλέον δεδομένα