Ρητός ή άρρητος;;

#1

Ο αριθμός $\displaystyle{\displaystyle A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 16 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}} }$ είναι:
α) Αρρητός β)Ρητός γ) Απο άλλο πλανήτη δ)Δε γνωρίζω-δεν απαντώ .

#2

καλημέρα Χρήστο

ψηφίζω $\displaystyle A=\frac{2}{3}$ ,λες να είναι από άλλο πλανήτη;;;

#3

Oρθώς το προτίμησες Φωτεινή!

#4

chris_gatos έγραψε:
$A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 16 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}}$

Καλημέρα
Παιδιά συγνώμη αλλά με μπερδέψατε. Τα αποσιωπητικά τί σημαίνουν;
Και η απάντηση πως προκύπτει;
Μαυρογιάννης

#5

Πιθανολογώ πως η Φωτεινή θα έκανε τα εξής $\displaystyle{\displaystyle A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 12 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4(1 + 2^3 + 3^3 + ....)}} {{1 \cdot 3 \cdot 9(1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4}} {{1 \cdot 3 \cdot 9}}}} = \sqrt[3]{{\frac{8} {{27}}}} = \frac{2} {3} }$
Τώρα οι τελίτσες νομίζω πως ο συγγραφέας του βιβλίου,θα εννοεί πως τα αθροίσματα στον αριθμητή και παρονομαστή,αναπτύσσονται κατά τον ίδιο τρόπο.Αλλιώς όντως ο αριθμός θα ήταν απο άλλο πλανήτη!

#6

Χρήστο τώρα νομίζω ότι κατάλαβα τι θέλει να πεί ο ποιητής.
Αλλά συντηριτικός ων αυτή η ελευθερία αλα Euler με τα αθροίσματα δε μου αρέσει.
Μαυρογιάννης

#7

Νομίζω καταλαβαίνω την ένσταση Νίκο. Ας δώσουμε λοιπόν και τη έξτρα πληροφορία πως τα αθροίσματα αναπτύσσονται,εξελίσσονται και τελειώνουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

#8

Εγώ ψηφίσω (ε) Ο αριθμός δεν έχει νόημα.

Όχι λόγω των αποσιωπητικών αλλά διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν συγκλίνουν. Να το θέσω και λίγο διαφορετικά. Από πότε ισχύει ότι $\displaystyle \frac{1+1+1+\ldots}{1+1+1+\ldots} = 1$ ;

Ισώς η σωστή απάντηση να είναι το (γ) ...

#9

Demetres.Έκανες την τρίχα τριχιά!

#10

chris_gatos έγραψε:Ο αριθμός $\displaystyle{\displaystyle A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 16 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}} }$ είναι:
α) Αρρητός β)Ρητός γ) Απο άλλο πλανήτη δ)Δε γνωρίζω-δεν απαντώ .

Χάθηκα από την λέσχη... Φόρτος εργασίας, γαρ. Διαβάζω όμως όλα τα ωραία θέματα που
βάζει η καλή μας παρέα.

Όσο για την άσκηση, σωστές οι ενστάσεις του Νίκου και Δημήτρη. Μόνο αν δεχθούμε (αλα Euler, όπως εύστοχα επισημαίνει ο Νίκος) "παρόμοια συμπεριφορά" αριθμητή και παρονομαστή, βγάζουμε αποτέλεσμα.

Έτσι όπως είναι, η άσκηση προσκρούει σε παρόμοια δυσκολία όπως με τον υπολογισμό του
1-1+1-1+1-... .

Για την ιστορία, ίσον 1/2 είπε ο Euler.
Μα πώς;
Κοίτα το $1 - x + x^2 - x^3 = \frac{1}{1+x}$ , είπε, και βάλε x = 1 στο τέλος.

Αν κάνουμε το ίδιο στο δοθέν άθροισμα, θέτουμε

Α(x) = $\sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 x+ 3 \cdot 6 \cdot 12 x^2+ 4 \cdot 8 \cdot 16 x^3+ ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18x + 3 \cdot 9 \cdot 27 x^2+ 4 \cdot 12 \cdot 36x^3 + ...}}}}$
= 2/3 (ως έφη Φωτεινή) .

Αν θέλεις βάλε τώρα x = 1. Το 2/3 μένει το ίδιο και δεν ενοχλούνται οι ακριβολόγοι.

Αλχημίες θα πείτε.

Σωστά!

Αλλά έτσι κάνανε για αιώνες οι μαθηματικοί.... Οι σειρές συγκλίνουν για -1 < x < 1, και κάνουμε τα στραβά μάτια στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης.

Πάντως αυτά που γράφω εμπίπτουν σε μία πάρα πολύ ωραία θεωρία, την Summability. Με αυτήν ασχολήθηκαν προ αιώνος πολλοί από τους κορυφαίους Αναλύστες, βάζοντας σε τάξη στις ατασθαλίες των αποκλινουσών σειρών.
Τα παραπάνω είναι βέβαια ποιητική αδεία (ερανιζόμενος για άλλη μία φορά από τον Νίκο) αλλά δίνουν μία ιδέα των τεχνικών που χρησιμοποιεί η Summability. Εκεί η ποιήση παραμερίζεται και τακτοποιούνται αυστηρά τα βήματα. Μαθηματικά κάνουμε, όχι ότι κι ότι!

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

sxristi · #11

Μάλλον κάπως έτσι το είδαν και οι προηγούμενοι φίλοι. Μια επιπλέων πρόσθεση στην ανάπτυξη του αριθμητή και παρανομαστή και χρησιμοποιώντας πρωταρχικούς αριθμούς, βοηθά στη παρατήρηση της ανάπτυξης . «Κλέβω» από προηγούμενο την έξτρα πληροφορία πως τα αθροίσματα αναπτύσσονται, εξελίσσονται και τελειώνουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

#12

Ο μόνος τρόπος που εγώ μπορώ να δω τον $A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 16 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}}}$ να λαμβάνει νόημα είναι ο εξής : $A = \sqrt[3]{{\frac{{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 12 + 4 \cdot 8 \cdot 16 + ...}} {{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + 3 \cdot 9 \cdot 27 + 4 \cdot 12 \cdot 36 + ...}}}}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{2^{3}1^{3}+2^{3}2^{3}+\ldots+2^{3}n^{3}}{3^{3}1^{3}+3^{3}2^{3}+\ldots+3^{3}n^{3}}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{2^{3}\sum_{i=1}^{n}i^{3}}{3^{3}\sum_{i=1}^{n}i^{3}}}=\sqrt[3]{\frac{2^{3}}{3^{3}}}=\frac{2}{3}$ .

Όσο για την απλοποίηση της ποσότητας $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\ldots$ διαφωνώ διότι $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\ldots=\infty$

sxristi · #13

Επικεντρώθηκα στην παρατήρηση της ανάπτυξης και σωστά θα έπρεπε να το παρουσιάσω ως lim n->oo εάν αρχικά δε διατύπωνα ότι

« «Κλέβω» από προηγούμενο την έξτρα πληροφορία πως τα αθροίσματα αναπτύσσονται, εξελίσσονται και τελειώνουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.»

Φυσικά μπορεί να ρωτήσεις τι σημαίνει «τελειώνουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο» και τότε μπαίνουμε σε φιλοσοφικά.

Από τη στιγμή που υπέθεσα ότι οι προσθέσεις κάπου «τελειώνουν» νομίζω πως στη λύση μου θα ήταν λάθος το lim n->oo. Ότι αρχικά δόθηκε ως «+…» νομίζω μας δίνει τη δυνατότητα να παρουσιάζουμε τη λύση με αλχημείες.

Ρητός ή άρρητος;;

Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Re: Ρητός ή άρρητος;;

Μέλη σε σύνδεση