(Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

Tolaso J Kos · #1

α. Αν

μιγαδικός με $z=a+i\beta, \neq -i$ να αποδείξετε ότι ισχύουν $\displaystyle{\left | \frac{z-i}{z+i} \right |=1 \iff z \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\left | \frac{z-i}{z+i} \right |<1 \iff \beta >0}$ .

β.Έστω $z_1, \; z_2, \; z_3, \; \dots, \; z_\nu \in \mathbb{C}-\{-i \}$ και $\displaystyle{z_1+z_2+\cdots+z_\nu \neq -i}$ και για αυτούς ισχύει: $\displaystyle{\left | \frac{z_1-i}{z_1+i} \right |+\left | \frac{z_2-i}{z_2+i} \right |+\cdots +\left | \frac{z_\nu-i}{z_\nu+1} \right |<1}$ τότε να δείξετε ότι:

i. Κανένας από τους $z_1, z_2, \dots, z_\nu$ δεν είναι πραγματικός.

ii. $\displaystyle{\left | \frac{z_1+z_2+\cdots +z_\nu -i}{z_1+z_2+\cdots+z_\nu+i} \right |<1}$ .

anastasispk · #2

Καλημέρα Αποστόλη!

α. $\frac{\left | z-i \right |}{\left | z+i \right |}=1\Leftrightarrow \left | z-i \right |=\left | z+i \right |$
Άρα ο γ.τ του

είναι η μεσοκάθετος του

με A

και B

δηλαδή η

άρα:
$z \in \mathbb{R}$

Στη συνέχεια:
$\frac{\left | z-i \right |}{\left | z+i \right |}<1\Leftrightarrow \left | z-i \right |^2<\left | z+i \right |^2\Leftrightarrow$

$(z-i)(\bar{z}+i)<(z+i)(\bar{z}-i)\Leftrightarrow z\bar{z}+zi-\bar{z}i+1<z\bar{z}+-zi+\bar{z}i+1\Leftrightarrow$

$2zi-2\bar{z}i<0\Leftrightarrow 2i(z-\bar{z}) <0$

άρα: $2i \cdot 2bi<0 \Leftrightarrow b>0$

β. Το β. αποτελεί άσκηση του σχολικού βιβλίου και βγαίνει με απαγωγή σε άτοπο.

Tolaso J Kos · #3

Ωραία για το πρώτο.

Το β το σχολικό έχει μονο το πρώτο υπό ερώτημα, οπότε να δούμε το δεύτερο;

styt_geia · #4

β ii
Αν υπήρχε $\displaystyle i_0 \in \{1,2,\ldots,n\}$ με $\displaystyle \frac{|z_{i_0}-i|}{|z_{i_0}+i|} \geq 1$ τότε θα ήταν

$\displaystyle{\left | \frac{z_1-i}{z_1+i} \right |+\left | \frac{z_2-i}{z_2+i} \right |+\cdots + \frac{|z_{i_0}-i|}{|z_{i_0}+i|}+\cdots +\left | \frac{z_\nu-i}{z_\nu+1} \right | \geq 1}.$

Συνεπώς

$\displaystyle \frac{|z_i-i|}{|z_i+i|} < 1 \,\,\forall i \in \{1,2,\ldots,n\} \stackrel{\textnormal{ \gr α ερώτημα \en}}{\Rightarrow} Im (z_i)>0 \,\,\forall i \in \{1,2,\ldots,n\} \Rightarrow$
$Im(z_1)+Im(z_2)+\cdots+ Im(z_\nu)>0 \Rightarrow Im(z_1+z_2+\cdots+z_\nu)>0$

άρα από το ερώτημα α είναι

$\displaystyle{\left | \frac{z_1+z_2+\cdots +z_\nu -i}{z_1+z_2+\cdots+z_\nu+i} \right |<1}$

(Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

(Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

Re: (Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

Re: (Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

Re: (Μη) Πραγματικοί και ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση