Άθροισμα συνημιτόνων

pito · #1

Μια πολύ όμορφη άσκηση που συνάντησα:

Να δείξετε ότι $\displaystyle cos\frac{\pi }{5}+cos\frac{3\pi }{5}=\frac{1}{2}$

Tolaso J Kos · #2

pito έγραψε:Μια πολύ όμορφη άσκηση που συνάντησα:

Να δείξετε ότι $\displaystyle \cos\frac{\pi }{5}+\cos\frac{3\pi }{5}=\frac{1}{2}$

Καλημέρα Μυρτώ,

Θα κάνω χρήση του τύπου: $\displaystyle{\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}$ . Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \cos \frac{\pi}{5}+\cos \frac{3\pi}{5} &=2\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{\pi}{5} \\ &=\frac{2\cos \frac{\pi}{5}\sin \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}} \\ &= \frac{\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}}\\ &= \frac{2\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}\\ &= \frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \left ( \pi-\frac{\pi}{5} \right )}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{1}{2} \quad \; \square \end{aligned}}$

#3

pito έγραψε:Μια πολύ όμορφη άσκηση που συνάντησα:

Να δείξετε ότι $\displaystyle cos\frac{\pi }{5}+cos\frac{3\pi }{5}=\frac{1}{2}$

Μυρτώ και Τόλη, καλό μεσημέρι.

Αφού το επιτρέπει ο φάκελος, ας βάλω και λίγη Γεωμετρία που είναι η αδυναμία μου.

Έστω

η πλευρά κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

.

Είναι $\displaystyle{{a_5} = R\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{\cos {36^0} = \cos \frac{\pi }{5} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}}$ (1)

: Άθροισμα συνημιτόνων.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 1774 φορές

$\displaystyle{\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5} = \cos \frac{\pi }{5} - \cos \frac{{2\pi }}{5} = \cos \frac{\pi }{5} - 2{\cos ^2}\frac{\pi }{5} + 1\mathop = \limits^{(1)} }$

$\displaystyle{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} - 2{\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5} = \frac{1}{2}}$

vasisot · #4

Θέτουμε $S= \cos\frac{\pi }{5}+\cos\frac{3\pi }{5}$ , πολλαπλασιάζουμε με $2 \sin \frac{2\pi }{5}$ και

χρησιμοποιώντας τον τύπο $2 \cos a \sin b = \sin(a+b) -\sin(a-b)$ θα έχουμε :

$2 S \sin \frac{2\pi }{5} = 2 \cos\frac{\pi }{5} \sin \frac{2\pi }{5} + 2 \cos\frac{3\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5} \Rightarrow$

$2 S \sin \frac{2\pi }{5}= \sin \frac{3\pi }{5} +\sin \frac{\pi }{5} + \sin \pi -\sin \frac{\pi }{5} \Rightarrow$

$\displaystyle{ S= \frac{1 }{2} }$ , αφού $\sin\frac{3\pi }{5}=\sin \frac{2\pi }{5}$ ( έχουν άθροισμα $\pi$ ).

vasisot · #5

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται η γενικότερη

$\displaystyle{ S= \cos a+ \cos 2a+\cos3 a+ \cdots + \cos na = \frac { \sin \frac{(2n+1)a}{2} } { 2\sin \frac{a}{2} } - \frac{1}{2} }$

πολλαπλασιάζοντας με $2 \sin \frac{a}{2}$ .

#6

Και με μιγαδικούς: Είναι

$\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{5}\right) + \cos\left( \frac{3\pi}{5}\right) = -\left(\cos\left( \frac{2\pi}{5}\right)+\cos\left( \frac{4\pi}{5}\right) \right) = -\mathrm{Re}(z+z^2)}$

όπου $\displaystyle{ z = \exp\left( \frac{2\pi i}{5}\right).}$

Όμως $\displaystyle{\mathrm{Re}(z+z^2) = \frac{z+z^4}{2} + \frac{z^2+z^3}{2} = \frac{z+z^2+z^3+z^4}{2} = -\frac{1}{2}}$

αφού $z \neq 1$ και z^5=1

οπότε

.

Το ζητούμενο έπεται.

pito · #7

Καλησπέρα , ευχαριστώ θερμά όλους για τις λύσεις τους.
Η άσκηση είναι από το εξαιρετικό βιβλίο των κ.Στεργίου, Νάκη, Μπεληγιάννη για ΑΣΕΠ.

ManosG · #8

$\frac{\pi}{5} = k \implies 5k = \pi \implies 3k = \pi - 2k \implies \cos{3k} = - \cos{2k} \implies 4(\cos{k})^3 - 3 \cos{k} = -2(\cos{k})^2 + 1 \implies 4m^3 + 2m^2 - 3m - 1 = 0 \implies (m+1)(4m^2 - 2m - 1) = 0$

Το $\displaystyle{m=-1}$ απορρίπτεται άρα $m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$ όμως $\displaystyle{m = \cos k}$ είναι θετικό άρα $m = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \implies \cos{k} = \cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση βρίσκουμε το ζητούμενο.

Άθροισμα συνημιτόνων

Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Re: Άθροισμα συνημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση