Αριθμός ακρότατων με συνθήκη για τη δεύτερη παραγωγο

[mariapas]

Καλημέρα,

Θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με την παρακάτω απόδειξη:
Αν η δεύτερη παραγωγός μιας συνάρτησης ειναι γνησίως αύξουσα σε ενα ανοιχτό διαστημα και για κάποιο που ανήκει στο διάστημα αυτό μηδενίζεται, τότε η συνάρτηση έχει δυο το πολύ ακρότατα.

Μαρία

[Antonis_A]

Υπόδειξη: Γνωρίζεις ότι η είναι γνησίως μονότονη με ακριβώς μία ρίζα. Σκέψου γιατί η είναι συνεχής.
Μετά προσδιόρισε την μονοτονία της .
Μόλις καταλάβεις ποιές είναι οι περιπτώσεις που υπάρχουν εδώ για το πρόσημο της , θα βρείς ότι...

[mariapas]

Υπόδειξη: Γνωρίζεις ότι η είναι γνησίως μονότονη με ακριβώς μία ρίζα. Σκέψου γιατί η είναι συνεχής.
Μετά προσδιόρισε την μονοτονία της .
Μόλις καταλάβεις ποιές είναι οι περιπτώσεις που υπάρχουν εδώ για το πρόσημο της , θα βρείς ότι...

Καλησπέρα,

σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση στο να μου δώσετε μία υπόδειξη. Δυστυχώς δεν έχω καταφέρει να το αποδείξω ακόμη.
Ήθελα να ρωτήσω το εξής: μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη έχει μόνο δύο το πολύ ακρότατα και μάλιστα όχι τοπικά, ισχύει;

[Μπάμπης Στεργίου]

.....................
Καλησπέρα,

σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση στο να μου δώσετε μία υπόδειξη. Δυστυχώς δεν έχω καταφέρει να το αποδείξω ακόμη.
Ήθελα να ρωτήσω το εξής: μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη έχει μόνο δύο το πολύ ακρότατα και μάλιστα όχι τοπικά, ισχύει;

Καλημέρα Μαρία !

ΕΠειδή κανένας δεν πρέπει να μένει με παράπονο ή απορία στο mathematica, να πω και γω κάτι :

- Η είναι αρνητική αριστερά του και θετική δεξιά από αυτό.

- Βρίσκουμε την τιμή .

- Αν , τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, αφού θα είναι για .

- Aν , τότε η συνάρτηση έχει δύο το πολύ τοπικά ακρότατα, ανάλογα με το ποια είναι τα όρια της στα άκρα του διαστήματος. Για παράδειγμα, αν αυτά είναι θετικά, τότε έχουμε δύο ακριβώς τοπικά ακρότατα. Αν είναι αρνητικά ή μηδέν, δεν έχουμε κανένα. Αν το ένα θετικό και το άλλο αρνητικό ή μηδέν, τότε έχουμε μόνο ένα τοπικό ακρότατο. Σε όλα αυτά, όπως είπε και ο Αντώνης, αρκεί να φτιάχνεις το σχετικό πίνακα μονοτονία προσήμων, αρχίζοντας από την και κατεβαίνοντας προς τη ...μαμά .

Αν κάτι δεν καταλαβαίνεις, εδώ είμαστε !
(Να το ξαναδώ μόνο, μήπως μου ξέφυγε κάτι γιατί γράφω στο διάλειμμα και χτύπησε κουδούνι !)

Μπάμπης

(Κάπου ξέχασα έναν τόνο σε μια παράγωγο και τον πρόσθεσα κλπ.Πρέπει να τα ξαναδώ όλα αυτά, αν και δεν έχει νόημα ένας μαθητής να μπλέκει με τόσο περίπλοκα πράγματα)

[Antonis_A]

μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη έχει μόνο δύο το πολύ ακρότατα και μάλιστα όχι τοπικά, ισχύει;

Πρέπει να προσέξεις την διατύπωση σου.
Eννοείς την συνάρτηση γνησίως μονότονη στο Δ, τότε όχι δεν ισχύει η πρόταση. (σκέψου που είναι το λάθος της διατύπωσης)
Αν τώρα εξετάζεις την συνάρτηση και είναι κατά διαστήματα γνησίως μονότονη, τότε πάλι η πρόταση είναι λάθος αλλά για άλλο λόγο.

Το έχω δεί και σε άλλα μηνύματα σου, πρέπει να είσαι πιο προσεκτική στην διατύπωση σου. Επιτρέπεις στον εαυτό σου να μην είσαι τόσο αυστηρή...το οποίο αναπόφευκτα δημιουργεί μπέρδεμα στην πορεία. Έχε το κατά νου ότι πρέπει να το βελτιώσεις γιατί θα σε βοηθήσει στις εξετάσεις.

Θέλω να ρωτήσω και εγώ κάτι. Προαιρετικά απαντάς εάν και εφόσον θες.
Διαβάζεις μόνη σου;

[mariapas]

μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη έχει μόνο δύο το πολύ ακρότατα και μάλιστα όχι τοπικά, ισχύει;

Πρέπει να προσέξεις την διατύπωση σου.
Eννοείς την συνάρτηση γνησίως μονότονη στο Δ, τότε όχι δεν ισχύει η πρόταση. (σκέψου που είναι το λάθος της διατύπωσης)
Αν τώρα εξετάζεις την συνάρτηση και είναι κατά διαστήματα γνησίως μονότονη, τότε πάλι η πρόταση είναι λάθος αλλά για άλλο λόγο.

Το έχω δεί και σε άλλα μηνύματα σου, πρέπει να είσαι πιο προσεκτική στην διατύπωση σου. Επιτρέπεις στον εαυτό σου να μην είσαι τόσο αυστηρή...το οποίο αναπόφευκτα δημιουργεί μπέρδεμα στην πορεία. Έχε το κατά νου ότι πρέπει να το βελτιώσεις γιατί θα σε βοηθήσει στις εξετάσεις.

Θέλω να ρωτήσω και εγώ κάτι. Προαιρετικά απαντάς εάν και εφόσον θες.
Διαβάζεις μόνη σου;

Καλησπέρα σας,

καταρχήν σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και την υπόδειξη που μου δώσατε.

Ναι διαβάζω μόνη μου και μάλιστα σε πολύ αντίξοες συνθήκες, αλλά η αγάπη μου για τα μαθηματικά είναι κινητήριος δύναμη για να συνεχίσω! Επίσης βρίσκομαι ακόμη σε αρχικό στάδιο, με συνέπεια να εμφανίζεται ασυνέπεια στις διατυπώσεις μου, χωρίς βέβαια να το καταλαβαίνω. Σας ευχαριστώ πολύ για την συμβουλή σας, να είστε σίγουρος ότι θα το προσπαθώ.

Σας απαντάω σχετικά με το ερώτημα που μου κάνατε να εντοπίσω σε πιο σημείο κάνω λάθος στην διατύπωση μου.
Δυστυχώς δεν έχω καταλάβει.

Ας προσπαθήσω να γίνω πιο σαφής στην διατύπωση του πεδίου ορισμού.

1. Αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό διάστημα και η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε αυτό, τότε από Θ.Μ.Ε.Τ θα εμφανίζει μέγιστο και ελάχιστο. Τρίτο ακρότατο δεν θα μπορούσε να έχει, γιατό αυτό θα έπρεπε η συνάρτηση δεξιά και αριστερά αυτού να αλλάζει είδος μονοτονίας, άτοπο.

2. Αν το πεδίο ορισμού είναι ανοιχτό διάστημα και η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε αυτό, τότε δεν έχει καθόλου ακρότατα.

Μπορείτε σας παρακαλώ να με βοηθήσετε στο που κάνω λάθος;

[mariapas]

.....................
Καλησπέρα,

σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση στο να μου δώσετε μία υπόδειξη. Δυστυχώς δεν έχω καταφέρει να το αποδείξω ακόμη.
Ήθελα να ρωτήσω το εξής: μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη έχει μόνο δύο το πολύ ακρότατα και μάλιστα όχι τοπικά, ισχύει;

Καλημέρα Μαρία !

ΕΠειδή κανένας δεν πρέπει να μένει με παράπονο ή απορία στο mathematica, να πω και γω κάτι :

- Η είναι αρνητική αριστερά του και θετική δεξιά από αυτό.

- Βρίσκουμε την τιμή .

- Αν , τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, αφού θα είναι για .

- Aν , τότε η συνάρτηση έχει δύο το πολύ τοπικά ακρότατα, ανάλογα με το ποια είναι τα όρια της στα άκρα του διαστήματος. Για παράδειγμα, αν αυτά είναι θετικά, τότε έχουμε δύο ακριβώς τοπικά ακρότατα. Αν είναι αρνητικά ή μηδέν, δεν έχουμε κανένα. Αν το ένα θετικό και το άλλο αρνητικό ή μηδέν, τότε έχουμε μόνο ένα τοπικό ακρότατο. Σε όλα αυτά, όπως είπε και ο Αντώνης, αρκεί να φτιάχνεις το σχετικό πίνακα μονοτονία προσήμων, αρχίζοντας από την και κατεβαίνοντας προς τη ...μαμά .

Αν κάτι δεν καταλαβαίνεις, εδώ είμαστε !
(Να το ξαναδώ μόνο, μήπως μου ξέφυγε κάτι γιατί γράφω στο διάλειμμα και χτύπησε κουδούνι !)

Μπάμπης

(Κάπου ξέχασα έναν τόνο σε μια παράγωγο και τον πρόσθεσα κλπ.Πρέπει να τα ξαναδώ όλα αυτά, αν και δεν έχει νόημα ένας μαθητής να μπλέκει με τόσο περίπλοκα πράγματα)

Κύριε Στεργίου καλησπέρα,

σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση που μου δώσατε!
Ναι έχετε δίκιο στο ότι ένας μαθητής δεν μπορεί να μπλέκει σε τόσο περίεργα πράγματα,τα συναντώ όμως στο διάβασμα μου και νιώθω την υποχρέωση ως καθηγήτρια να τα ξεδιαλύνω. Με κάνει να νιώθω πιο ολοκληρωμένη από πριν.

Με εκτίμηση,
Μαρία Π.

[mariapas]

Καλημέρα,

Θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με την παρακάτω απόδειξη:
Αν η δεύτερη παραγωγός μιας συνάρτησης ειναι γνησίως αύξουσα σε ενα ανοιχτό διαστημα και για κάποιο που ανήκει στο διάστημα αυτό μηδενίζεται, τότε η συνάρτηση έχει δυο το πολύ ακρότατα.

Μαρία

Καλησπέρα και πάλι,

θα ήθελα να δώσω μία ακόμη απάντηση (βασισμένη στην πρώτη υπόδειξη που μου δόθηκε) και αν είναι εύκολο και μπορεί κάποιος να ελένξει αν κάνω κάπου λάθος.

Αφού η δεύτερη παραγωγός μιας συνάρτησης είναι γνησίως αύξουσα σε ένα ανοιχτό διάστημα και για κάποιο που ανήκει στο διάστημα αυτό μηδενίζεται, τότε η δεύτερη παραγωγός θα είναι αρνητική αριστερά του και θετική δεξιά .

Συνεπώς, η πρώτη παράγωγος θα είναι γνησίως φθίνουσα αριστερά του και γνησίως αύξουσα δεξιά του . Άρα στο εσωτερικό σημείο θα εμφανίζει τοπικό ελάχιστο (να προσθέσω ότι η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο ανοιχτό διάστημα , αφού είναι παραγωγίσιμη σε αυτό). Άρα από το θεώρημα Fermat, η δεύτερη παράγωγος θα μηδενίζεται στο , όπως έχουμε και ως δεδομένο. Το ακρότατο αυτό για την πρώτη παράγωγο θα είναι μοναδικό, γιατί δεξιά και αριστερά του δεν αλλάζει είδος μονοτονίας και τα διαστήματα είναι ανοιχτά.

Γνωρίζουμε όμως ότι αφού η πρώτη παράγωγος έχει ένα ακρότατο το πολύ, η αρχική συνάρτηση δεν μπορεί να έχει πάνω από δύο. (Αυτό θέλει απόδειξη). Θα επανέλθω με την απόδειξη του.

Μαρία Π.

Υ.Γ. Ελπίζω να μην χειροτέρεψα τα πράγματα με την διατύπωση μου.

[Antonis_A]

1. Αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό διάστημα και η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε αυτό, τότε από Θ.Μ.Ε.Τ θα εμφανίζει μέγιστο και ελάχιστο. Τρίτο ακρότατο δεν θα μπορούσε να έχει, γιατό αυτό θα έπρεπε η συνάρτηση δεξιά και αριστερά αυτού να αλλάζει είδος μονοτονίας, άτοπο.

Άρα έχει ακριβώς δύο (στην προηγούμενη είχες γράψει το πολύ)

Το ίδιο και για το 2. αλλά με τα όρια της συνάρτησης για τα άκρα του διαστήματος.

Η επόμενη πρόταση -μάλλον- συνοψίζει αυτό που ήθελες να εννοήσεις εξ αρχής.
"μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη σε κάποιο διάστημα Δ, έχει ακριβώς δύο ολικά ακρότατα το ένα μέγιστο και το άλλο ελάχιστο."


Αν τώρα η συνάρτηση είναι κατά διαστήματα μονότονη, τα μέγιστα/ελάχιστα είναι τοπικά ακρότατα.

Καλημέρα...
μέχρι εδώ τέλεια...
Γνωρίζουμε όμως ότι αφού η πρώτη παράγωγος έχει ένα ακρότατο το πολύ, η αρχική συνάρτηση δεν μπορεί να έχει πάνω από δύο. (Αυτό θέλει απόδειξη). Θα επανέλθω με την απόδειξη του.

Είπες η είναι μονότονη και έχει ρίζα και βρήκες ότι η έχει ακριβώς ένα ακρότατο , γιατί το έκανες "το πολύ";
Το ένα ακρότατο σημαίνει το πολύ δύο ρίζες για την άρα το πολύ δύο ακρότατα για την
---
Τι εννοείς ως καθηγήτρια;

[mariapas]

Το ίδιο και για το 2. αλλά με τα όρια της συνάρτησης για τα άκρα του διαστήματος.

Η επόμενη πρόταση -μάλλον- συνοψίζει αυτό που ήθελες να εννοήσεις εξ αρχής.
"μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη σε κάποιο διάστημα Δ, έχει ακριβώς δύο ολικά ακρότατα το ένα μέγιστο και το άλλο ελάχιστο."

Καλησπέρα,

σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση σας και την πολύτιμη βοήθεια που μου προσφέρετε.

Αλλά μάλλον μπερδεύτηκα ξανά!

Τι εννοείτε "Το ίδιο και για το 2. αλλά με τα όρια της συνάρτησης για τα άκρα του διαστήματος"
Αφού σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουνε ακρότατα. Τα όρια γιατί τα αναφέρατε?

Μα αφού στην περίπτωση 1 έχουμε δύο ακριβώς ακρότατα, ενώ στην περίπτωση 2 κανένα, τελικά "μια συνεχής συνάρτηση και γνησίως μονότονη σε κάποιο διάστημα Δ, έχει ακριβώς δύο ολικά ακρότατα το ένα μέγιστο και το άλλο ελάχιστο, αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό διάστημα, ενώ στην περίπτωση που είναι ανοιχτό, δεν υπάρχουνε ακρότατα.

Με εκτίμηση,
Μαρία Π.

[mariapas]

Τι εννοείς ως καθηγήτρια;

Δεν είμαι διορισμένη καθηγήτρια αν και μαθηματικός, εργάζομαι στον ιδιωτικό τομέα και διδάσκω σε μαθητές μικρότερων τάξεων. Διαβάζω από μόνη μου για τις μεγαλύτερες τάξεις του λυκείου, με τον στόχο να αναλάβω κάποια στιγμή μαθητή γ λυκείου κατεύθυνσης και παράλληλα να προετοιμάζομαι για τυχόν διαγωνισμό ασεπ.

Φιλικά,
Μαρία Π.

[mariapas]

Είπες η είναι μονότονη και έχει ρίζα και βρήκες ότι η έχει ακριβώς ένα ακρότατο , γιατί το έκανες "το πολύ";
Το ένα ακρότατο σημαίνει το πολύ δύο ρίζες για την άρα το πολύ δύο ακρότατα για την

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Μαρία Π.