σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

pastavr · #1

Ξέρω ότι το θέμα με το οποίο καταπιάνομαι έχει συζητηθεί αρκετά . Θα ήθελα όμως τη γνώμη σας κατά πόσο η επόμενη λύση έχει πρόβλημα

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{{f^5}\left( x \right) + f\left( x \right) + 1 = x{\text{ , }}x \in \mathbb{R}}$ .
Δίνεται επίσης και η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g\left( x \right) = {x^5} + x + 1}$ . Ζητάμε να βρούμε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ και αν αντιστρέφεται , την αντίστροφή της

Λύση

Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα , άρα και 1-1 .
Έστω $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$ . Τότε για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ , έχουμε :
$\displaystyle{f\left( x \right) = y \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = g\left( y \right)}$
Άρα $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( y \right) = {y^5} + y + 1{\text{ , y}} \in \mathbb{R}}$

BAGGP93 · #2

Γεια σας.

Όπως δείξατε και εσείς, η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα και $\displaystyle{1-1}$ .

Επίσης, αυτή είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και κατά συνέπεια έχουμε :

$\displaystyle{g\,\left(\mathbb{R}\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}g(x),\lim_{x\to +\infty}g(x)\right)=\left(-\infty,+\infty\right)=\mathbb{R}}$ .

Ορίζεται η $\displaystyle{g\circ f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο

$\displaystyle{\left(g\circ f\right)(x)=g\,(f\,(x))=f^5(x)+f(x)+1=x\,,x\in\mathbb{R}}$ , άρα $\displaystyle{g\circ f=Id_{\mathbb{R}}$ .

Από εδώ προκύπτει ότι και η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ αφού για τυχόντα $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{f(x)=f(y)\implies g\,(f\,(x))=g\,(f\,(y))\implies \left(g\circ f\right)(x)=\left(g\circ f\right)(y)\implies Id_{\mathbb{R}}(x)=Id_{\mathbb{R}}(y)\implies x=y}$

Ορίζεται λοιπόν η αντίστροφη $\displaystyle{f^{-1}:f\,(\mathbb{R}\right)\longrightarrow \mathbb{R}}$ και απεικονίζει

κάθε $\displaystyle{y\in f\left(\mathbb{R}\right)}$ στο μοναδικό $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ για το οποίο ισχύει $\displaystyle{f(x)=y\,,(I)}$ .

Υποψιαζόμαστε λοιπόν ότι η αντίστροφη της $\displaystyle{f}$ είναι η $\displaystyle{g}$ διότι :

Η $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ και επί του $\displaystyle{\mathbb{R}}$

αν, και μόνο αν, υπάρχει μοναδική συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε

$\displaystyle{g\circ f=Id_{\mathbb{R}}\,,f\circ g=Id_{\mathbb{R}}$ .

Έτσι, θα δείξουμε ότι $\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}}$ . Εξ' ορισμού, $\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)\subseteq \mathbb{R}}$ .

Για τον αντίστροφο εγκλεισμό :

pastavr έγραψε: Έστω $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$ . Τότε για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ , έχουμε :
$\displaystyle{f\left( x \right) = y \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = g\left( y \right)}$
Άρα $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( y \right) = {y^5} + y + 1{\text{ , y}} \in \mathbb{R}}$

Αυτό το " για κάθε" $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ νομίζω ότι δεν είναι σωστό. Καλύτερα είναι να γράψουμε το εξής :

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\mathbb{R}\subseteq f\left(\mathbb{R}\right)}$ . Έστω λοιπόν $\displaystyle{y\in\mathbb{R}}$ .

Αναζητούμε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x)=y}$ . Επειδή η $\displaystyle{g}$

είναι $\displaystyle{1-1}$ , ισοδύναμα, αναζητούμε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{g\,(f\,(x))=g(y)}$

ή ισοδύναμα, αναζητούμε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{\left(g\circ f\right)(x)=g(y)}$

ή ισοδύναμα, αναζητούμε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{x=g(y)}$ .

Έτσι, λοιπόν, θέτοντας $\displaystyle{x=g(y)\in\mathbb{R}}$ έχουμε ότι $\displaystyle{f(x)=y}$ και σύμφωνα με την

ανάλυση $\displaystyle{(I)}$ , $\displaystyle{f^{-1}=g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\,,f^{-1}(x)=g(x)=x^5+x+1}$ .

pastavr · #3

BAGGP93 ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες

#4

pastavr έγραψε:Ξέρω ότι το θέμα με το οποίο καταπιάνομαι έχει συζητηθεί αρκετά . Θα ήθελα όμως τη γνώμη σας κατά πόσο η επόμενη λύση έχει πρόβλημα

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{{f^5}\left( x \right) + f\left( x \right) + 1 = x{\text{ , }}x \in \mathbb{R}}$ .
Δίνεται επίσης και η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g\left( x \right) = {x^5} + x + 1}$ . Ζητάμε να βρούμε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ και αν αντιστρέφεται , την αντίστροφή της

Λύση

Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα , άρα και 1-1 .
Έστω $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$ . Τότε για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ , έχουμε :
$\displaystyle{f\left( x \right) = y \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = g\left( y \right)}$
Άρα $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( y \right) = {y^5} + y + 1{\text{ , y}} \in \mathbb{R}}$

Λοιπόν, όλη η ουσία είναι να βρεις ότι η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ . Πήρες τυχαίο $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$ και έθεσες x=g(y)

.Για αυτό το

βρήκες ότι :

$g(f(x))=g(y) \Rightarrow f(x)=y$ .

Με αυτόν τον τρόπο εξασφάλισες ότι ότι η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ , οπότε η λύση σου, αν γράψεις δυο λογάκια που να δείχνουν τι βρήκες στο κάθε βήμα θα είναι πλήρης, σαφής, απλή, με άλλα λόγια θα είναι είναι άψογη.

Μπάμπης

#5

http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=78&t=3541
Δες και εδώ.

σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

Re: σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

Re: σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

Re: σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

Re: σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση