9- ψήφιοι

#1

Με τα ψηφία $\displaystyle{1,2, ... 9 ,}$ από μια φορά , πόσους 9-ψήφιους σχηματίζουμε , που να διαιρούνται με το 11;

ealexiou · #2

Κριτήριο διαιρετότητας με το

Έστω $A_{ \pi \varepsilon \rho }$ το άθροισμα των περιττής (

ης,

ης,...,

ης) θέσης ψηφίων και $A_{ \alpha \rho \tau }$ το άθροισμα των άρτιας (

ης,

ης) θέσης ψηφίων.
Για να διαιρείται ο

-ψήφιος αριθμός με το

πρέπει $| A_{ \pi \varepsilon \rho }-A_{ \alpha \rho \tau }| \equiv 0mod11$ .
Συνεπώς πρέπει ή $A_{ \pi \varepsilon \rho }=17$ και $A_{ \alpha \rho \tau }=28$ , ή $A_{ \pi \varepsilon \rho }=28$ και $A_{ \alpha \rho \tau }=17$
Υπάρχουν

τρόποι τέσσερα ψηφία να έχουν άθροισμα

και αυτοί είναι οι: $\{9,5,2,1\}, \{9,4,3,1\}, \{8,6,2,1\}$ , $\{8,5,3,1\}, \{8,4,3,2\}, \{7,6,3,1\}, \{7,5,4,1\}, \{7,5,3,2\} , \{6,5,4,2\}$ και καθένας από αυτούς διατάσσεται στις άρτιες θέσεις με 4! τρόπους και τα άλλα πέντε ψηφία διατάσσονται στις πέντε περιττές θέσεις του

-ψήφιου αριθμού με

τρόπους, άρα συνολικά έχουμε $9 \times 4! \times 5!$ τρόπους.
Επίσης υπάρχουν

τρόποι

ψηφία να έχουν άθροισμα

και αυτοί είναι: $\{9,8,7,4\}$ και $\{9,8,6,5\}$ και καθένας από αυτούς διατάσσεται με

τρόπους στις άρτιες θέσεις και τα υπόλοιπα

ψηφία διατάσσονται στις περιττές θέσεις του αριθμού με

τρόπους, άρα και για τους δύο αυτούς έχουμε $2 \times 4! \times 5!$ τρόπους.
Άρα συνολικά μπορούμε να σχηματίσουμε $11 \times 4! \times 5!=31680$ εννιαψήφιους αριθμούς που να διαιρούνται με το

9- ψήφιοι

9- ψήφιοι

Re: 9- ψήφιοι

Μέλη σε σύνδεση