Τριγωνομετρικό όριο

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Καλημέρα σε όλους . Μου έδωσαν το παρακάτω όριο

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\eta \mu \left( \eta \mu x \right)-\eta {{\mu }^{2}}x}{{{x}^{6}}}$

χωρίς De L'Hospital ...

Απάντηση 1/18
Δεν έχω λύση ...

#2

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους . Μου έδωσαν το παρακάτω όριο

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\eta \mu \left( \eta \mu x \right)-\eta {{\mu }^{2}}x}{{{x}^{6}}}$

χωρίς De L'Hospital ...

Απάντηση 1/18
Δεν έχω λύση ...

Χρήστο, μέχρι να την κοιτάξουμε, έχεις κάνει την επαλήθευση με τον κανόνε de L'Hospital ;

μπ.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Μπάμπη το αποτέλεσμα το τσέκαρα στο Woolframa ...

#4

Το αποσύρω προσωρινά γιατί έχω κάνει λάθος τις πράξεις. Επανέρχομαι.

Η ιδέα πάντως είναι σωστή.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Πρόκειται για άσκηση "στοίχημα" ανάμεσα σε καθηγητή και μαθητές της Γ Λυκείου ... Δε ξέρω πόσο καλό ή κακό κάνουν αυτές οι ασκήσεις ...

S.E.Louridas · #6

Πάντως οι εποχές δεν είναι και οι καταλληλότερες για "στοιχήματα" και ειδικά στο "χρηματιστήριο" της γνώσης.

#7

Πριν ξανακάνω τις πράξεις αξίζει να επιβεβαιώσω ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό.

Με MAPLE η σειρά Taylor του αριθμητή είναι $\frac {1}{18} x^6-\frac {1}{45}x^8+...$ οπότε όλα καλά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους . Μου έδωσαν το παρακάτω όριο

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\eta \mu \left( \eta \mu x \right)-\eta {{\mu }^{2}}x}{{{x}^{6}}}$

χωρίς De L'Hospital ...

Θα γράψω μόνο τα κύρια βήματα γιατί η δακτυλογράφηση είναι επίπονη.

Επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να βρούμε το πλευρικό όριο $x\to 0+$ .

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα $\sin x \le x$ και την βελτιωμένη της εκδοχή $\displaystyle{ x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} \le \sin x \le x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!}}$ στο πρώτο τεταρτημόριο.

Έτσι

$\displaystyle{ \frac{x\sin( \sin x )-\sin^{2}x}{{{x}^{6}}}\ge \frac{x\left ( \sin x - \frac {1}{3!} \sin ^3 x + \frac {\sin ^5x}{5!} - \frac {\sin^7x}{7!} \right ) -\left ( x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!}\right )^2}{{{x}^{6}}}}$

$\displaystyle{ \ge \frac{x\left ( x- \frac {1}{3!}x^3+ \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} - \frac {1}{3!}\left (x-\frac {1}{3!} x^3+ \frac {1}{5!}x^5\right )^3+\frac {\sin ^5x}{5!} - \frac {\sin^7x}{7!} \right ) -\left (x-\frac {1}{3!} x^3+ \frac {1}{3!}x^5\right )^2}{{{x}^{6}}} }$

$\displaystyle{ =\frac {17}{360} + \frac {13 x^2}{840}+ ... - \frac {\sin ^5x}{5!x^5}+ \frac {\sin ^7x}{7!x^5} \to \frac {17}{360} + 0+ \frac {1}{5!}+0= \frac {1}{18} }$

Όμοια κάνουμε και την ανάποδη ανισότητα.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης

Τριγωνομετρικό όριο

Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση