Τύπου Δ

elena97 · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:\Re\rightarrow \Re$ για την οποία ισχύει: $f^3(x)+3f(x)=x+3,x\epsilon\Re$ .
1.Να αποδείξετε ότι η

γνησίως αύξουσα στο $\Re$ .
2.Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την $f^{-1}$ .
3.Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=f^{-1}(x)$ .
4.Αν $f(f^{-1}(|z-3-2i|)-4)=0$ να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών

.
5.Να αποδείξετε ότι $4\leq|z+2i|\leq6$ .

Tolaso J Kos · #2

elena97 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f:\Re\rightarrow \Re$ για την οποία ισχύει: $f^3(x)+3f(x)=x+3,x\epsilon\Re$ .
1.Να αποδείξετε ότι η γνησίως αύξουσα στο $\Re$ .
2.Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την $f^{-1}$ .
3.Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=f^{-1}(x)$ .
4.Αν $f(f^{-1}(|z-3-2i|)-4)=0$ να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών .
5.Να αποδείξετε ότι $4\leq|z+2i|\leq6$ .

Θα χρησιμοποιήσουμε την εφαρμογή από εδώ , για να δείξουμε ότι $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ . (θα το πάρουμε ως λήμμα αλλά εκεί είναι αποδεδειγμένο όπως και στις παραπομπές που δίδονται)

1.Θα δείξουμε ότι για $x_1<x_2 \in \mathbb{R}$ ισχύει f(x_1)<f(x_2)

.
Τότε: $\displaystyle{x_1+3<x_2+3 \implies f(x_1)+f^3(x_1)<f(x_2)+f^3(x_2) }$

Η τελευταία δίδει:
$\displaystyle{x_1+3<x_2+3 \implies f(x_1)+f^3(x_1)<f(x_2)+f^3(x_2) }$
$\displaystyle{f^3(x_2)-f^3(x_1)+f(x_2)-f(x_1)>0 \Leftrightarrow \left ( f(x_2)-f(x_1) \right )\left ( f^2(x_2)+f(x_2)f(x_1)+f^2(x_1)+1 \right )>0}$

Οπότε f(x_2)>f(x_1)

άρα

γνήσια αύξουσα.

β.Ως γνήσια αύξουσα είναι 1-1

άρα αντιστρέφεται. Χρησιμοποιώντας τη παραπομπή και θέτοντας όπου

το $f^{-1}(x)$ έχουμε ότι: $\displaystyle{f^{-1}(x)=x^3+3x-3, \;\; x \in \mathbb{R}}$ .

γ.Η

είναι γνήσια αύξουσα οπότε ισχύει (με απόδειξη ) η ισοδυναμία:
$\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f^{-1}(x)=x \Leftrightarrow x^3+3x-3=x \Leftrightarrow x^3+2x-3=0}$

Προφανή λύση είναι η x=1

οπότε η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{(x-1)(x^2+x+3)=0}$ από όπου παίρνουμε ότι x=1

.

δ.Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
$\displaystyle{\begin{aligned} f\left ( f^{-1}\left ( \left | z-3-2i \right | \right )-4 \right )=0 &\iff f^{-1}\left ( \left | z-3-2i \right | \right ) -4=-3\\ &\iff f^{-1}\left ( \left | z-3-2i \right | \right )=1\\ &\iff \left | z-3-2i \right |=f(1)\\ \end{aligned}}$

Εδώ κάτι πρέπει να 'χει γίνει λάθος. Το f(1)

πώς θα το υπολογίσουμε;

ε.Χμμ... δε μπορώ να το βγάλω τούτο. Γιατί δεν έχω το πάνω, εκτός αν έχω κάνει λάθος πράξεις.
Θα δείξει.

anastasispk · #3

Tolaso J Kos έγραψε:
elena97 έγραψε: $f^3(x)+3f(x)=x+3,x\epsilon\Re$ .
...
Εδώ κάτι πρέπει να 'χει γίνει λάθος. Το πώς θα το υπολογίσουμε;

Αποστόλη, για x=1

γίνεται: $f^3(1)+3f(1)-4 = 0 \Leftrightarrow (f(1)-1) (f^2(1)+f(1)+4) = 0 \Leftrightarrow f(1)=1$

Tolaso J Kos · #4

anastasispk έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
elena97 έγραψε: $f^3(x)+3f(x)=x+3,x\epsilon\Re$ .
...
Εδώ κάτι πρέπει να 'χει γίνει λάθος. Το πώς θα το υπολογίσουμε;

Αποστόλη, για γίνεται: $f^3(1)+3f(1)-4 = 0 \Leftrightarrow (f(1)-1) (f^2(1)+f(1)+4) = 0 \Leftrightarrow f(1)=1$

Μπράβο βρε Αναστάση. Ευχαριστώ. Έλυνα άλλη εξίσωση τόση ώρα.

δ. ... Οπότε οι εικόνες των μιγαδικών

κινούνται σε κύκλο με κέντρο K(3, 2)

και ακτίνα $\rho=1$ .
ε. Φτιάχνουμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων

. Οπότε μας ζητείται η απόσταση των

από το σημείο A(0, -2)

. Εδώ δουλεύουμε γεωμετρικά. (δεν μπόρεσα να βγάλω κάποια ανισότητα εύκολα)

Λοιπόν , είναι $\displaystyle{\left ( KA \right )=\sqrt{3^2+\left ( 2-(-2) \right )^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{25}=5}$ . Οπότε:
$\displaystyle{\left | z+2i \right |_{\max}=\left ( KA \right )+\rho=6, \;\left | z+2i \right |_{\min}=\left ( KA \right )-\rho=4}$ .

Μάλιστα απόδειξαμε και κάτι καλύτερο, ότι οι τιμές αυτές είναι το μέγιστο και το ελάχιστο του μέτρου αυτού. Δηλαδή υπάρχουν μιγαδικοί όπου πιάνει ισότητα. Κάποιος να βάλει ένα σχήμα, διότι δεν έχω σε αυτό τον υπολογιστή το ${\rm Geogebra}$ .

Τύπου Δ

Τύπου Δ

Re: Τύπου Δ

Re: Τύπου Δ

Re: Τύπου Δ

Μέλη σε σύνδεση