Ένα απλό όριο

anastasispk · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \lim_{\nu \to +\infty} \int_{0}^{1} \arctan{x} \sin(\nu x) dx$ .

#2

anastasispk έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \lim_{\nu \to +\infty} \int_{0}^{1} \arctan{x} \sin(\nu x) dx$ .

Άμεσο από Λήμμα Riemann-Lebesque που λέει ότι, γενικότερα, $\displaystyle \lim_{\nu \to +\infty} \int_{0}^{1} f(x) \sin(\nu x) dx = 0$ για συνεχείς

.

Αν θέλουμε να αποφύγουμε το Λήμμα Riemann-Lebesque τότε με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle \int_{0}^{1} \arctan{x} \sin(\nu x) dx= \frac {1}{\nu} \left [ -\arctan x \cos \nu x \right ]_0^1 + \frac {1}{\nu} \int _0^1 \frac {\cos \nu x}{1+x^2} dx \to 0 +0=0$

ως φραγμένη επί μηδενική και τα δύο: Υπόψη $\displaystyle{\left | \int _0^1 \frac {\cos \nu x}{1+x^2} dx \right | \le \left \int _0^1 \frac {1}{1+x^2} dx= c}$ ,

M.

Ένα απλό όριο

Ένα απλό όριο

Re: Ένα απλό όριο

Μέλη σε σύνδεση