Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

#1

Ακόμα ένα πακέτο με δέκα (10) ασκήσεις, ύφους παραπλήσιου με αυτό του διαγωνισμού εκπαιδευτικών.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, μα όσο μπορείτε να είστε επεξηγηματικοί στις λύσεις σας.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων που το σέβεστε.(Αλλιώς δεν έχει και κανένα νόημα...)

ΑΣΚΗΣΗ 1

Το άθροισμα όλων των ακεραίων μεταξύ του 50 και του 350, οι οποίι τελειώνουν σε ένα (1) είναι:

(Α) 5880 (Β) 5539 (Γ) 5208 (Δ) 4877 (Ε) 4566

ΑΣΚΗΣΗ 2

Αν n είναι πραγματικός αριθμός, τότε το σύστημα

$\displaystyle{ \begin{array}{l} nx + y{\rm{ = 1}} \\ {\rm{ + n}}y + z = 1 \\ x{\rm{ + nz = 1}} \\ \end{array} }$
δεν έχει καμία λύση όταν και μόνο όταν το n ισούται με :

(Α) -1 (Β) 0 (Γ) 1 (Δ) 0 ή 1 (Ε) 1/2

ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν θ είναι μια οξεία γωνία και ισχύει: $\displaystyle{ \sin \left( {\frac{\vartheta }{2}} \right) = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} }$
τότε η tanθ ισούται με :

(Α) x (B) 1/x (Γ) $\displaystyle{ \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x + 1}} }$
(Δ) $\displaystyle{ \frac{{\sqrt {x^2 - 1} }}{x} }$
(Ε) $\displaystyle{ \sqrt {x^2 - 1} }$

ΑΣΚΗΣΗ 4

Στην παρακάτω εξίσωση, κάθε ένα απο τα γράμματα αναπαριστά με μοναδικό τρόπο ένα διαφορετικό ψηφίο του δεκαδικού συστήματος.

$\displaystyle{ \left( {YE} \right) \cdot \left( {ME} \right) = TTT }$
Τότε το άθροισμα $\displaystyle{ E + M + T + Y }$
ισούται με :

(Α) 19 (Β) 20 (Γ) 21 (Δ) 22 (Ε) 24.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Έστω $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$
αριθμοί, τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ x_1 \ne x_2 }$
και $\displaystyle{ 3\left( {x_i } \right)^2 - hx_i = b_i ,i = 1,2 }$
Τότε το άθροισμα $\displaystyle{ x_1 + x_2 }$
ισούται με :

(Α) h/3 (Β) -h/3 (Γ) b/3 (Δ)-b/3 (Ε)2b

AΣΚΗΣΗ 6

Ο συντελεστής του $\displaystyle{ x^7 }$
στο πολυωνυμικό ανάπτυγμα του $\displaystyle{ \left( {1 + 2x - x^2 } \right)^4 }$
είναι ίσος με:

(Α) -8 (Β) 12 (Γ) 6 (Δ) -12 (Ε) Κανένας απο τους αναφερθέντες.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ποιός είναι ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί το άθροισμα: $\displaystyle{ 3^{11} + 5^{13} }$
;

(Α) 2 (Β) 3 (Γ) 5 (Δ) $\displaystyle{ 3^{11} + 5^{13} }$
(Ε) Κανένα απο τα αναφερθέντα.

ΑΣΚΗΣΗ 8

Αν τα σημεία Α(a,b) και Β(c,d) είναι δύο σημεία της ευθείας y=mx+k, τότε η απόσταση (ΑΒ) σε σχέση με τα α,c,m είναι:

(Α) $\displaystyle{ |a - c|\sqrt {1 + m^2 } }$
(Β) $\displaystyle{ |a + c|\sqrt {1 + m^2 } }$
(Γ) $\displaystyle{ \frac{{|a - c|}}{{\sqrt {1 + m^2 } }} }$
(Δ) $\displaystyle{ |a - c|(1 + m^2 ) }$
(Ε) $\displaystyle{ |a - c| \cdot |m| }$
ΑΣΚΗΣΗ 9

Εαν $\displaystyle{ g(x) = 1 - x^2 }$
και $\displaystyle{ f(g(x)) = \frac{{1 - x^2 }}{{x^2 }} }$
/2) , τότε το f(1/2) ισούται με:

(Α)3/4 (Β) 1 (Γ) 3 (Δ) $\displaystyle{ \frac{{\sqrt 2 }}{2} }$
(Ε) $\displaystyle{ \sqrt 2 }$

ΑΣΚΗΣΗ 10

Έστω:

$\displaystyle{ T = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8 - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} }$
τότε
(Α) Τ<1 (Β) Τ=1 (Γ) 1<Τ<2 (Δ) Τ>2 (Ε) $\displaystyle{ T = \frac{1}{{\left( {3 - \sqrt 8 } \right)\left( {\sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} }$

Για τυχόν λάθη ή επισημάνσεις θα σας είμαι υπόχρεος. Εντός ολίγου όμως γιατί στο προσεχές μέλλον θα απουσιάσω για...ολίγον!
Καλό βράδυ σε όλους!

mathxl · #2

Άσκηση 3
Το Ε γιατί
$\begin{array}{l} \eta {\mu ^2}\frac{\theta }{2} = \frac{{x - 1}}{{2x}} \Rightarrow \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }}{2} = \frac{{x - 1}}{{2x}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{1}{x} \Rightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta = \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \\ \frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta }} = \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow 1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta = {x^2} \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \end{array}$

mathxl · #3

Άσκηση 9
Είναι
$f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow f\left( {1 - {x^2}} \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}$

Για ${x^2} = \frac{1}{2}:f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{1 - \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 1$
άρα το Β

Stavroulitsa · #4

ΑΣΚΗΣΗ 1 (Α)
ΑΣΚΗΣΗ 2 (Α -1)
ΑΣΚΗΣΗ 7 (Α) 2

Θα τα αναλύσω γιατί πριν είχα μια δουλίτσα και ... απλώς έπιασα τη "θεση"...

Άσκηση 1: Την απάντησε ο hlkampel, εγώ απλά χρησιμοποίησα τον άλλο τύπο της αριθμητικής προόδου: $S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1} +a_{2}\right)=\frac{30}{2}\left( 51+341\right)=5880$

Άσκηση 2: Προσθέτουμε κατα μέλη τα τις εξισώσεις και έχουμε: $n\left(x+y+z \right)+x+y+z=3\Leftrightarrow \left(n+1 \right)\left(x+y+z \right)=3$ για να είναι αδύνατη πρέπει n+1=0 δηλαδή n=-1.

Άσκηση 7: Παρατηρούμε πως το άθροισμα των τελευταίων ψηφίων των αριθμών είναι 7+5=12 (διαιρούμε τον εκθέτη με το 4, και υψώνουμε τον αριθμό με εκθέτη το υπόλοιπο, κλτ...) άρα ο αριθμός τελειώνει σε 2 και διαιρείται με το 2 που είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός.
Πιο απλά και άμεσα παρατηρούμε πως οι αριθμοί θα είναι και οι 2 περιττοι (γιατί είναι γινόμενο περιττών, δηλαδή 3*3*...*3 και 5*5*...*5) και είναι γνωστό πως το άθροισμα 2 περιττών αριθμών είναι άρτιος αριθμός, άρα διαιρούνται με το 2.

hlkampel · #5

ΑΣΚΗΣΗ 1
Οι αριθμοί που τελειώνουν σε 1 ανάμεσα στους 50 και 350 είναι οι:
51, 61,...,341 και αποτελούν αριθμητική πρόοδο με α1=51, ω=10 και αν=341.
Είναι αν=α1+(ν-1)ω έτσι 341=51+(ν-1)10, οπότε λύνοντας την εξίσωση είναι ν=30.
Sν=ν/2(α1+αν) οπότε S30=30/2(51+341) και S30=5880

mathxl · #6

Άσκηση 10
Βλέπουμε τους παρονομαστές και για το λόγο αυτό συζυγάρουμε κάθε κλάσμα χωριστά.
Παίρνουμε $T = 3 + \sqrt 2$
και απειδή
$\frac{1}{{\left( {3 - \sqrt 8 } \right)\left( {\sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} > \frac{1}{{\left( {3 - \sqrt 8 } \right)}} > 3 + \sqrt 2 = T$
σωστή απάντηση το Δ

hlkampel · #7

ΑΣΚΗΣΗ 5
Έχω την εντύπωση ότι στην ασκηση 5 υπάρχει τυπογραφικό λάθος αντί για bi νομίζω
ότι θέλει b, με βάση τις απαντήσεις. Αν είναι έτσι, σωστο είναι το Α.
Μια λύση (με αυτή την αλλαγή) έχω στο συνημμένο.

#8

Καλησπέρα.Όντως στην πέντε είναι b το σωστό. Ευχαριστώ πολύ.

Ιστοσελίδα · #9

Ούφ πρόλαβα και γω αργά το βράδυ

ΑΣΚΗΣΗ 8
Τα σημεία Α και Β επαληθεύουν τον τύπο της ευθείας, επομένως είναι:
Α(a, ma+k) και Β(c, mc+k)
Τότε η απόσταση ΑΒ είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} AB = \sqrt {(c - a)^2 + (mc + k - ma - k)^2 } = \sqrt {(c - a)^2 + m^2 (c - a)^2 } = \\ = \sqrt {(c - a)^2 (1 + m^2 )} = \left| {a - c} \right|\sqrt {1 + m^2 } \\ \end{array} }$

επομένως σωστό το Β

Ιστοσελίδα · #10

ΑΣΚΗΣΗ 6
Η παράσταση γράφεται:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (1 + 2x - x^2 )^4 = (1 + 2x - x^2 )^2 \cdot (1 + 2x - x^2 )^2 = \\ = (1 + 4x^2 + x^4 + 4x - 2x^2 - 4x^3 ) \cdot (1 + 4x^2 + x^4 + 4x - 2x^2 - 4x^3 ) \\ \end{array} }$

στο παραπάνω γινόμενο μετά την επιμεριστική ιδιότητα προκύπτει μονώνυμο με βαθμό 7 μετά
από τους πολλαπλασιασμούς των όρων $\displaystyle{ x^4 \cdot ( - 4x^3 ) }$ δύο φορές επομένως ο συντελεστής του ζητούμενου όρου είναι:
$\displaystyle{ x^4 \cdot ( - 4x^3 ) + ( - 4x^3 ) \cdot x^4 = - 8x^7 }$ δηλαδή το – 8
σωστό το Α

#11

Άσκηση 4

Ο αριθμός ΤΤΤ είναι ένας από τους: 111,222,333,444,555,666,777,888,999.
Όμως: $111=3 \cdot 37$ , $222=6 \cdot 37$ , $333=9 \cdot 37$ ,
$444 = 12 \cdot 37$ , $555=15 \cdot 37$ , $666=18 \cdot 37$ ,
$777=21 \cdot 37$ , $888=24 \cdot 37$ και $999=27\cdot 37$ .

Επειδή οι μοναδές των παραγόντων του γινομένου είναι ίσες η λύση είναι $999 = 27\cdot 37$ ,

οπότε το άθροισμα είναι 9 + 2 + 7 + 3 = 21, άρα σωστό είναι το Γ.

Και εδώ τελειώνει η δεκάδα ...

Ευχαριστούμε Χρήστο

Ιστοσελίδα · #12

Ωραία λύση Λευτέρη! Το ψαχνα με λάθος τρόπο...

#13

Να είστε καλά όλοι σας παιδιά, εγώ σας ευχαριστώ!
Με την ευκαιρία να τονίσω πως θα ήθελα να δραστηριοποιηθούν νέα μέλη(κυρίως) που ενδιαφέρονται (ή δεν ενδιαφέρονται) για το διαγωνισμό και να εκφράσουν την άποψη τους για την επίλυση των ασκήσεων.
Οχι μόνο να παίρνουμε, αλλά να δίνουμε κιόλας!

Stavroulitsa · #14

lepro έγραψε:Άσκηση 4

Ο αριθμός ΤΤΤ είναι ένας από τους: 111,222,333,444,555,666,777,888,999.

Καλησπέρα! Αν μου επιτρέπετε, κύριε Λευτέρη, θα κάνω μια παρατήρηση: έχουμε τους αριθμούς ΥΕ και ΜΕ όπου πολλαπλασιάζοντάς τους θα έχουμε Ε^2 άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού ΤΤΤ θα είναι 1,4,5,6,9 οπότε αποκλείουμε κατευθείαν τις περιπτώσεις ο αριθμος ΤΤΤ να ισούται με 222,333,777,888 και μας μένουν οι περιπτώσεις 111, 444, 555, 666, 999 και στη συνέχεια συνεχίζουμε όπως εσείς ή αναλύοντας σε γι΄νόμενο πρώτων παραγόντων...

Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Re: Πακέτο ασκήσεων άλγεβρας (4)

Μέλη σε σύνδεση