Κυκλική με 4 όρους

gavrilos · #1

Η συγκεκριμένη με είχε παιδέψει παλιότερα χωρίς αποτέλεσμα,αλλά την ξέθαψα χτες και κατάφερα να την κουμαντάρω.

Θεωρούμε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c,d}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4}$ .Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{d}+\frac{d^{2}}{a}\geq 4}$ .

G.Bas · #2

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2d+d^2a}.}$

Μένει να αποδείξουμε λοιπόν την Ανισότητα

$\displaystyle{\frac{4^2}{a^2b+b^2c+c^2d+d^2a}\geq 4\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2d+d^2a\leq 4.}$ Ξανά από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε όμως πως

$\displaystyle{(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a)^2\leq (a^2+b^2+c^2+d^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)=4(a^2+c^2)(b^2+d^2)\leq (a^2+b^2+c^2+d^2)^2=4^2}$

με την τελευταία Ανισότητα να ισχύει από την $4xy\leq (x+y)^2$ και με αυτό τελειώσαμε!

#3

Ας δούμε και αυτή

Θεωρούμε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c,d}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=4}$ .Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{d}+\frac{d^{2}}{a}\geq 4}$ .

#4

silouan έγραψε: Πέμ Ιαν 08, 2015 3:54 pm Ας δούμε και αυτή

Θεωρούμε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c,d}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=4}$ .Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{d}+\frac{d^{2}}{a}\geq 4}$ .

Επαναφορά!

Κυκλική με 4 όρους

Κυκλική με 4 όρους

Re: Κυκλική με 4 όρους

Re: Κυκλική με 4 όρους

Re: Κυκλική με 4 όρους

Μέλη σε σύνδεση