Πράξεις με σύνολα

#1

Ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR(ή ένα διάστημα Δ) και ας ονομάσουμε με C το σύνολο των σταθερών συναρτήσεων στο IR(στο Δ).
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για τις f, g από την ισότητα :

$\{f+k / k\in C\} = \{g-k ,k\in C\}$ ;

H ερώτηση έχει να κάνει με μια προσπάθεια που κάνω τελευταία να τακτοποιήσω, αν γίνεται , τον ορισμό και κάποιες ιδιότητες στο αόριστο ολοκλήρωμα. Προκύπτουν όμως μερικά ζητήματα από τα σύνολα, οπότε επικαλούμε τη βοήθειά σας.Θα ακολουθήσουν και άλλες ερωτήσεις.

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR(ή ένα διάστημα Δ) και ας ονομάσουμε με C το σύνολο των σταθερών συναρτήσεων στο IR(στο Δ).
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για τις f, g από την ισότητα :

$\{f+k / k\in C\} = \{g-k ,k\in C\}$ ;

H ερώτηση έχει να κάνει με μια προσπάθεια που κάνω τελευταία να τακτοποιήσω, αν γίνεται , τον ορισμό και κάποιες ιδιότητες στο αόριστο ολοκλήρωμα. Προκύπτουν όμως μερικά ζητήματα από τα σύνολα, οπότε επικαλούμε τη βοήθειά σας.Θα ακολουθήσουν και άλλες ερωτήσεις.

Μπάμπης

Υποθέτοντας κάθε έναν από τους εγκλεισμούς $\subseteq$ , $\supseteq$ , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι f,g διαφέρουν κατα σταθερά. Το πρόσημο - στα στοιχεία του δεξιού συνόλου θα μπορούσε να είναι και + και αντίστοιχα για το αριστερο. Δεν ξέρω αν αυτό έχει σχέση με το συλλογισμό σου..

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR(ή ένα διάστημα Δ) και ας ονομάσουμε με C το σύνολο των σταθερών συναρτήσεων στο IR(στο Δ).
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για τις f, g από την ισότητα :

$\{f+k / k\in C\} = \{g-k ,k\in C\}$ ;

H ερώτηση έχει να κάνει με μια προσπάθεια που κάνω τελευταία να τακτοποιήσω, αν γίνεται , τον ορισμό και κάποιες ιδιότητες στο αόριστο ολοκλήρωμα. Προκύπτουν όμως μερικά ζητήματα από τα σύνολα, οπότε επικαλούμε τη βοήθειά σας.Θα ακολουθήσουν και άλλες ερωτήσεις.

Μπάμπης
Υποθέτοντας κάθε έναν από τους εγκλεισμούς $\subseteq$ , $\supseteq$ , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι f,g διαφέρουν κατα σταθερά. Το πρόσημο - στα στοιχεία του δεξιού συνόλου θα μπορούσε να είναι και + και αντίστοιχα για το αριστερο. Δεν ξέρω αν αυτό έχει σχέση με το συλλογισμό σου..

Αναστάση, αυτό που γραφεις ταιριάζει απόλυτα με αυτό που θέλω να αποδείξω

.Το απέδειξα με τον τρόπο που λες, από χθες, αλλά επειδή αυτά ανήκουν για μένα κάπως στο ...μακρινό παρελθόν, χρειάζομαι τις επιβεβεώσεις από σας που το βλέπετε πιο ψύχραιμα.

Θα συνεχίσω άλλη στιγμή. Πάντως, για όσους θέλουν να ασχοληθούν με το θέμα , αυτή τη στιγμή ερευνώ το σημείο στο οποίο έχουμε μια σχέση , σαν και αυτή :

$I= \int f(x)dx = ..... = 2g(x) - \int f(x)dx = 2g(x) - I$

και θέλουμε να βρούμε το ολοκλήρωμα

. Από που θα κροκύψει η σταθερά ;
Εννοώ με αυστηρό τρόπο και όχι όπως τη λέμε τεχνικά στους μαθητές. Διότι όπως ξέρεις το Ι από το δεύτερο μέλος δεν έχει νόημα να το φέρουμε στο πρώτο μέλος, μια και πρόκειται για σύνολο. Εκτός βέβαια και αν ορίσουμε κατάλληλες πράξεις κλπ.
Να δούμε τι θα βγάλει αυτη η προσπάθεια !!!.

Μπάμπης

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:αυτή τη στιγμή ερευνώ το σημείο στο οποίο έχουμε μια σχέση , σαν και αυτή :

$I= \int f(x)dx = ..... = 2g(x) - \int f(x)dx = 2g(x) - I$

και θέλουμε να βρούμε το ολοκλήρωμα . Από που θα κροκύψει η σταθερά ;
Εννοώ με αυστηρό τρόπο και όχι όπως τη λέμε τεχνικά στους μαθητές. Διότι όπως ξέρεις το Ι από το δεύτερο μέλος δεν έχει νόημα να το φέρουμε στο πρώτο μέλος, μια και πρόκειται για σύνολο. Εκτός βέβαια και αν ορίσουμε κατάλληλες πράξεις κλπ.
Να δούμε τι θα βγάλει αυτη η προσπάθεια !!!.

Μπάμπης

Μπάμπη πράγματι, αυτό το σημείο αν μύτη άλλο χρειάζεται κάποια αυσ-τυρί δικαιολόγηση. Θα το κοιτάξω και εγώ.

#5

Μπάμπη η γνώμη μου είναι ότι για να κάνουμε τις παράγουσες αυστηρά πρέπει στο σύνολο

των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα διάστημα $\Delta$ που είναι διανυσματικός χώρος να ορίσουμε πράξεις μεταξύ συνόλων.
$A+B=\left\{ a+b|a\in A,b\in B\right\}$
$cA=\left\{ ca|a\in A\right\}$
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τις συντομογραφίες:
$c+A=\left\{ c\right\} +A$
$-A=\left( -1\right) A$
$A-B=A+\left( -B\right)$
Με αυτό τον φορμαλισμό, και λίγη προσοχή, μπορούν να παραχθούν και οι ιδιότητες των αορίστων ολοκληρωμάτων.
Αν οι μαθητές μου το αντέχουν (συνήθως συμβαίνει) τους κάνω μια παρόμοια παρουσίαση.
Μαυρογιάννης

Στέλιος Μαρίνης · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR(ή ένα διάστημα Δ) και ας ονομάσουμε με C το σύνολο των σταθερών συναρτήσεων στο IR(στο Δ).
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για τις f, g από την ισότητα :

$\{f+k / k\in C\} = \{g-k ,k\in C\}$ ;

H ερώτηση έχει να κάνει με μια προσπάθεια που κάνω τελευταία να τακτοποιήσω, αν γίνεται , τον ορισμό και κάποιες ιδιότητες στο αόριστο ολοκλήρωμα. Προκύπτουν όμως μερικά ζητήματα από τα σύνολα, οπότε επικαλούμε τη βοήθειά σας.Θα ακολουθήσουν και άλλες ερωτήσεις.

Μπάμπης
Υποθέτοντας κάθε έναν από τους εγκλεισμούς $\subseteq$ , $\supseteq$ , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι f,g διαφέρουν κατα σταθερά. Το πρόσημο - στα στοιχεία του δεξιού συνόλου θα μπορούσε να είναι και + και αντίστοιχα για το αριστερο. Δεν ξέρω αν αυτό έχει σχέση με το συλλογισμό σου..
Αναστάση, αυτό που γραφεις ταιριάζει απόλυτα με αυτό που θέλω να αποδείξω .Το απέδειξα με τον τρόπο που λες, από χθες, αλλά επειδή αυτά ανήκουν για μένα κάπως στο ...μακρινό παρελθόν, χρειάζομαι τις επιβεβεώσεις από σας που το βλέπετε πιο ψύχραιμα.

Θα συνεχίσω άλλη στιγμή. Πάντως, για όσους θέλουν να ασχοληθούν με το θέμα , αυτή τη στιγμή ερευνώ το σημείο στο οποίο έχουμε μια σχέση , σαν και αυτή :

$I= \int f(x)dx = ..... = 2g(x) - \int f(x)dx = 2g(x) - I$

και θέλουμε να βρούμε το ολοκλήρωμα . Από που θα κροκύψει η σταθερά ;
Εννοώ με αυστηρό τρόπο και όχι όπως τη λέμε τεχνικά στους μαθητές. Διότι όπως ξέρεις το Ι από το δεύτερο μέλος δεν έχει νόημα να το φέρουμε στο πρώτο μέλος, μια και πρόκειται για σύνολο. Εκτός βέβαια και αν ορίσουμε κατάλληλες πράξεις κλπ.
Να δούμε τι θα βγάλει αυτη η προσπάθεια !!!.

Μπάμπης

Μπάμπη, νομίζω ότι απαντήθηκε σε ένα άλλο θέμα, εκτός αν κάνω λάθος στο τι ζητάς. Ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση αόριστων ολοκληρωμάτων είναι το ολοκλήρωμα του 0. Όταν αλλάζουμε μέλος, ουσιαστικά προσθέτουμε στα δύο μέλη το αντίθετο. Άθροισμα αντιθέτων είσαι ουδέτερο στoiχείο, δηλ. στα αόριστα ολοκληρώματα c

#7

Στέλιο, είχε γράψει παλιά και ο Γιάννης Παπανδρεόπουλος ένα κείμενο με τους προβληματισμούς του.

Απλά προσπαθώ να δω αν το θέμα μπορεί να τακτοποιηθεί πιο αυστηρά. Αν έχεις καμιά σχετική εργασία, θα χαρώ να τη στείλεις, έστω με pm.

Μπάμπης

#8

nsmavrogiannis έγραψε:Μπάμπη η γνώμη μου είναι ότι για να κάνουμε τις παράγουσες αυστηρά πρέπει στο σύνολο των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα διάστημα $\Delta$ που είναι διανυσματικός χώρος να ορίσουμε πράξεις μεταξύ συνόλων.
$A+B=\left\{ a+b|a\in A,b\in B\right\}$
$cA=\left\{ ca|a\in A\right\}$
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τις συντομογραφίες:
$c+A=\left\{ c\right\} +A$
$-A=\left( -1\right) A$
$A-B=A+\left( -B\right)$
Με αυτό τον φορμαλισμό, και λίγη προσοχή, μπορούν να παραχθούν και οι ιδιότητες των αορίστων ολοκληρωμάτων.
Αν οι μαθητές μου το αντέχουν (συνήθως συμβαίνει) τους κάνω μια παρόμοια παρουσίαση.
Μαυρογιάννης

Νίκο, ακριβώς έτσι έχω ξεκίνήσει . Μόνο που σύνολο

των σταθερών συναρτήσεων έχει μερικές ...περίεργες ιδιότητες , που επειδή ακριβώς είναι περίεργες , κάνω και καμιά επιβεβαίωση.
Μπορεί τελικά ο .... '' Εκθέτης σου '' να έχει .... επισκέψεις .

Μπάμπης

#9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Μπορεί τελικά ο .... '' Εκθέτης σου '' να έχει .... επισκέψεις .

Μπάμπη ένα κείμενο που θα ξεκαθάριζε, βασικά για τους συναδέλφους, τα πράγματα θα ήταν ευχής έργο και ευπρόσδεκτο.
Διότι με δεδομένη την επιλογή των συγγραφέων του σχολικού βιβλίου να παρουσιάσουν το αόριστο ολοκλήρωμα ως σύνολο συναρτήσεων ναι μεν έχουμε μια μαθηματικά σωστή επιλογή αλλά από την άλλη μεριά αναδύονται διάφορες διδακτικές δυσκολίες. Επομένως χρειάζεται προσπάθεια για το ξεπέρασμα τους.
Αυτός είναι ο ορισμός στο σχολικό βιβλίο, δεν το συζητάμε, αυτόν θα ακολουθήσουμε.

Συζητώντας πάντως, και μιλάμε βλεβαια για ένα μελλοντικό βιβλίο δεν είμαι βέβαιος αν είναι απαραίτητο να εισαχθεί έτσι το ολοκλήρωμα 'εξ' απαλών ονύχων". Υπάρχουν και άλλες λιγότερο αυστηρές προσεγγίσεις που δουλεύουν μαι χαρά:
α) Ο Kuratowski στο εισαγωγικό βιβλίο του Introduction to Calculus (Pergamon, 1969) αφού ορίσει την αρχική συνάρτηση

της

σε διάστημα γράφει "η συνάρτηση που προκύπτει αν προσθέσουμε σε μία αρχική μίας συνάρτησης

είναι επίσης αρχική της συνάρτηση

. 'Ετσι η έκφραση F(x)=C

είναι η γενική μορφή μιας αρχικής συνάρτησης της

. Δηλώνουμε αυτή την έκφραση με το σύμβολο $\int f\left( x\right) dx$ και την ονομάζουμε αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης .
β) Ο Morris Kline στο έργο του Calculus. An Intuituve and Physical Approach (Willey, 1976) γράφει μετά από παραδείγματα: Η διαδικασία μετάβασης από την παράγωγο στην αρχική συνάρτηση λέγεται ανιπαραγώγιση ή ολοκλήρωση. Η αρχική συνάρτηση λέγεται αντιπαράγωγος ή αόριστο ολοκλήρωμα...(εδώ διαπράτω κάποιες μεταφραστικές αυθειρεσίες γιατί ο Kline χρησιμοποιεί τους όρους original και primimitive). Μετά συνεχίζει με πολλά παραδείγματα και πολύ αργότερα εισάγει το σύμβολο του αορίστου ολοκληρώματος.
Μαυρογιάννης

Στέλιος Μαρίνης · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Στέλιο, είχε γράψει παλιά και ο Γιάννης Παπανδρεόπουλος ένα κείμενο με τους προβληματισμούς του.

Απλά προσπαθώ να δω αν το θέμα μπορεί να τακτοποιηθεί πιο αυστηρά. Αν έχεις καμιά σχετική εργασία, θα χαρώ να τη στείλεις, έστω με pm.

Μπάμπης

Μπάμπη, τώρα πρόσεξα αυτό το μήνυμα, γι΄ αυτό ζητώ συγνώμη που δεν απάντησα αμέσως. Δεν έχω καιμία εργασία, αλλά μπορώ να πω πώς εξηγώ στους μαθητές τα "παράδοξα" που συμβαίνουν με τα c. Διευκρινίζω ότι τους τα λέω πληροφοριακά για να μην κάνουν μαϊμουδιές, αλλά δεν ζητώ να τα γράφουν, απλώς να καταλαβαίνουν πού οφείλονται.

Περίπτωση 1η
Για το c που "εμφανίζεται" στην παραγοντική όταν μεταφέρουμε τα ολοκληρώματα στο ένα μέλος, λέω αυτό που έγραψα και προηγουμένως ότι, προσθέτουμε στα δύο μέλη το αντίθετο του μεταφερόμενου ολοκληρώματος, άρα μένει όχι ο αριθμός 0 ούτε η συνάρτηση 0, αλλά το μηδενικό ολοκλήρωμα, δηλ. το ολοκλήρωμα της μηδενικής συνάρτησης που ισούται με c.
Περίπτωση 2η
Για το c που αντικαθιστά μια μορφή $a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...+a_{n}c_{n}$
τρόπος α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι, αν f συνάρτηση ορισμένη και συνεχής σε διάστημα Δ, τότε τα σύνολα
Α={f+c/c in R} kai B={f+ $a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...+a_{n}c_{n}$ / $c_{1},c_{2},...c_{n}$ in R} είναι ίσα( με τους συντελεστές διάφορυος του 0).
Το ότι το τυχόν g του Β ανήκει στο Α είναι προφανές. Αν g στοιχείο του A, τότε
g=f+c=f+ $a_1\frac{c}{na_{1}}+a_2\frac{c}{na_{2}}+...+a_n\frac{c}{na_{n}}$ , άρα ανήκει στο Β
Τρόπος β) Κάνω το ίδιο χωρίς τη χρήση συνόλων. Δείχνω δηλ. ότι μπορώ να αντικαταστήσω το μεν με το δε.
Τρόπος γ) Λέω ότι το αποτέλέσμα δίνει όλες τις παράγουσες, άρα χωρίς τις στθαερές έχω μια από τις παράγουσεςς, άρα το ολοκλήρωμα ισούται με αυτή τη συνάρτηση συν c.
Η επιλογή του τρόπου γίνεται ανάλογα με τη σύσταση του τμήματος. Αν έχω διδάξει την προηγούμενη χρονιά τριγωνομετρία στο τμήμα, τους έχω προετοιμάσει με ασκήσεις που αποδεικνύουν ότι δύο μορφές λύσεων μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης ταυτίζονται.
Ελπίζω να βοήθησα.
Χαιρετώ.

Πράξεις με σύνολα

Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Re: Πράξεις με σύνολα

Μέλη σε σύνδεση