Μία πρόσθεση

#1

Καλή σας μέρα
(Με αφορμή το θέμα viewtopic.php?f=61&t=4805 του Μπάμπη Στεργίου)

'Ορίζουμε στο $\mathbb{R}$ το άθροισμα δύο συνόλων ως εξής:
$A+B=\left\{ a+b|a\in A,b\in B\right\}$
Βρείτε το $\left[ a,b\right] +\left[ c,d\right]$
Μαυρογιάννης

AlexandrosG · #2

Καλημερα

η απαντηση ειναι [a+c,b+d]

ή μου διεφυγε κατι ?

#3

AlexandrosG έγραψε:Καλημερα
η απαντηση ειναι
ή μου διεφυγε κατι ?

'Οχι Αλέξανδρε αυτή είναι η απάντηση. 'Ομως δεν χρειάζεται κάποια απόδειξη;
Μαυρογιάννης

k-ser · #4

nsmavrogiannis έγραψε:'Ορίζουμε στο $\mathbb{R}$ το άθροισμα δύο συνόλων ως εξής:
$A+B=\left\{ a+b|a\in A,b\in B\right\}$
Βρείτε το $\left[ a,b\right] +\left[ c,d\right]$

Απάντηση
Έστω $x\in \left[ a,b\right] +\left[ c,d\right]$ τότε, από τον ορισμό, υπάρχουν k,m

ώστε:
$k\in \left[ a,b\right], m \in \left[ c,d\right]$ και x=k+m

.
Είναι $a\leq k\leq b$ και $c \leq m \leq d$ οπότε: $a+c \leq k+m \leq b+d$ ή $a+c \leq x \leq b+d$ οπότε $x \in \left[ a+c,b+d\right]$ .
Άρα
$\color{red} \left[ a,b\right] +\left[ c,d\right] \subseteq \left[ a+c,b+d\right]$ .

Έστω $x \in \left[ a+c,b+d\right]$ . Θα υπάρχει $x_1 \in \left[ a,b\right]$ ώστε $x-x_1 \in \left[ c,d\right]$ . Αν όχι, τότε θα έπρεπε: $\forall x_1 \in \left[ a,b\right]$ να είναι
x-x_1 >d

ή

$\Leftrightarrow$ x>x_1 +d

ή

$\ \ \forall x_1 \in\left[ a,b\right]$ το οποίο είναι αδύνατο για x_1=b

ή

αντίστοιχα.
Έτσι,
για $x \in \left[ a+c,b+d\right]$ θα είναι και $x\in \left[ a,b\right] +\left[ c,d\right]$
δηλαδή
$\color{red} \left[ a+c,b+d\right]\subseteq \left[ a,b\right] +\left[ c,d\right]$ .

Τελικά, από τις κόκκινες σχέσεις, προκύπτει:

$\color{red} \left[ a,b\right] +\left[ c,d\right] = \left[ a+c,b+d\right]$ .

#5

Μετά την καθαυτό αλγεβρική απόδειξη του Κώστα ας δούμε και μία γεωμετρική:

: intervalsum.png (69.4 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Στηρίζεται στον ορισμό του αθροίσματος δύο συνόλων: Για να βρούμε το άθροισμα τους αρκεί ναι προσθέσουμε στο ένα από αυτά όλα τα στοιχεία του άλλου και να ενώσουμε τα αποτελέσματα. Στο σχήμα αυτό επιτυγχάνεται παίρνοντας την εικόνα του [a,b]

μέσω όλων των συναρτήσεων
f(x)=m+x

με $m \in [c,d]$
και ενώνοντας τις εικόνες. Το αποτέλεσμα είναι η προβολή του παραλληλογράμμου ΚΛΜΝ στον άξονα των

.
Mαυρογιάννης

Μία πρόσθεση

Μία πρόσθεση

Re: Μία πρόσθεση

Re: Μία πρόσθεση

Re: Μία πρόσθεση

Re: Μία πρόσθεση

Μέλη σε σύνδεση