Απλή και ...ωραία!

maiksoul · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ \,\,f(x) = \frac{{ax^2 + bx + c}}{{x - c^2 }}...a,b,c \in \Re \,\,\, }$
η οποία έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=1

και πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle{ + \infty }$ την ευθεία ε: y=2x-1

I) Βρείτε τα a,b,c

II) Αν

και $h(x)=g(x)+e^{2-x}$ δείξτε ότι $h(x)\geq -3x+9 , \displaystyle{ \forall } x>1$

asemarak · #2

i) $A_{f}=\mathbb{R}-\left \{ c^{2} \right \}$ .

Αφού η συνεχής ως ρητή

έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=1

, δε θα ορίζεται στο

, οπότε $c^{2}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$ .

Αφού η ευθεία $\varepsilon :y=2x-1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_{f}$ στο $+\infty$ , θα ισχύουν :

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}=2$ , ..., οπότε βρίσκουμε $\alpha=2$ και

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\left (f(x)-2x \right )=-1$ , ..., οπότε βρίσκουμε b=-3

.

Η περίπτωση c=1

απορρίπτεται γιατί τότε $f(x)=\frac{2x^{2}-3x+1}{x-1}=\frac{(2x-1)(x-1)}{x-1}=2x-1$ ,

η οποία δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Άρα c=-1

και $f(x)=\frac{2x^{2}-3x-1}{x-1}$ .

ii) $g(x)=2x-1-\frac{2x^{2}-3x-1}{x-1}=...=\frac{2}{x-1}$ και $h(x)=\frac{2}{x-1}+e^{2- x },\: x\neq 1$ .

Για x>1

είναι ${h}'(x)=-\frac{2}{(x-1)^{2}}-e^{2-x}$ και ${h}''(x)=\frac{4}{(x-1)^{3}}+e^{2-x}> 0$ .

Δηλαδή η

είναι κυρτή στο $(0,+\infty )$ κι επομένως η γραφική της παράσταση στο $(0,+\infty )$ θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη

της στο σημείο A(2, h(2))

που είναι η ευθεία $y-h(2)={h}'(2)(x-2)\Leftrightarrow y-3=-3(x-2)\Leftrightarrow y=-3x+9$ .

Άρα ισχύει $h(x)\geq -3x+9$ , για κάθε x>1

.

Απλή και ...ωραία!

Απλή και ...ωραία!

Re: Απλή και ...ωραία!

Μέλη σε σύνδεση