σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

AlexandrosG · #1

Θετω το εξης πολυ γενικο ερωτημα για το οποιο δεν ξερω την απαντηση:

Εστω δυο συνεχεις και κυρτες συναρτησεις σε ολο το $\mathbb{R}$ .
Ποσα κοινα σημεια μπορει να εχουν?

Διαισθητικα φαινεται οτι δεν θα μπορουσαν να εχουν π.χ. 5 αλλα γιατι οχι?

Ιστοσελίδα · #2

Διαισθητικά θα έλεγα μέχρι δύο σημεία, αλλά...

#3

Από κανένα, μέχρι άπειρα!

#4

AlexandrosG έγραψε:
Εστω δυο συνεχεις και κυρτες συναρτησεις σε ολο το $\mathbb{R}$ .
Ποσα κοινα σημεια μπορει να εχουν?

Διαισθητικα φαινεται οτι δεν θα μπορουσαν να εχουν π.χ. 5 αλλα γιατι οχι?

Με πρόλαβε ο Κώστας λέγοντας ότι μπορεί να είναι, πολύ σωστά, μέχρι και άπειρα τα σημεία τομής.

Επισυνάπτω ένα σχήμα με 9 σημεία τομής. Αν εκμεταλευτεί κανείς την ίδια ιδέα, μπορέι να φτιάχνει όσα θέλει.

Η εικόνα που δίνω είναι μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Μπορεί όμως εύκολα κανείς να φτιάξει άπειρα παραγωγίσιμες με την εν λόγω ιδιότητα άπειρων τομών.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

AlexandrosG · #5

Σας ευχαριστω ολους για τις απαντησεις σας.
Γι'αλλη μια φορα ισχυει το οτι ειναι πολυ απλο ΑΦΟΥ ομως στο δειξουν

Φιλικα
Αλεξανδρος

Ιστοσελίδα · #6

Μισό λεπτάκι νόμιζα ότι έλεγες και για παραγωγίσιμη συνάρτηση, αλλά απ'ό,τι βλέπω τώρα δεν το έχεις στις προϋποθέσεις οπότε όσα θες !
Οπότε σε παραγωγίσιμες, συνεχείς και κυρτές το μέχρι 2 είναι σωστό;

#7

polysot έγραψε:Μισό λεπτάκι νόμιζα ότι έλεγες και για παραγωγίσιμη συνάρτηση, αλλά απ'ό,τι βλέπω τώρα δεν το έχεις στις προϋποθέσεις οπότε όσα θες !
Οπότε σε παραγωγίσιμες, συνεχείς και κυρτές το μέχρι 2 είναι σωστό;

Παραγωγίσιμες, συνεχείς και κυρτές ίσον μέχρι και άπειρα σημεία τομής.

Το σχήμα που έβαλα το δείχνει. Το μόνο που έχεις να κάνεις, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ιδέα, είναι να στρογγυλέψεις τις γωνίες στο σχήμα μου. Ο λόγος που εκεί είναι μυτερές είναι για να φαίνεται η ιδέα της κατασκευής (και για να διευκολυνθώ στη ζωγραφική στην οθόνη, που λειτουργεί με διακριτά bit).

M.

#8

Παράδειγμα ...

$\displaystyle {f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{2}+\eta \mu (x)}$ ....... $\displaystyle f''(x)=1-\eta \mu (x)$ ...... κυρτή.

$\displaystyle {g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{2}}$ ....... $\displaystyle f''(x)=1$ ...... κυρτή.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x=k\cdot \pi$ .. με $k\epsilon Z$

#9

Παράδειγμα με υπεραριθμήσιμα σημεία τομής (εκτός από το $f \equiv g$ ):

$f(x) \equiv 0$
$g(x) = \begin{cases} (x+1)^2 & x < -1 \\ 0 & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ (x-1)^2 & x > 1 \end{cases}$

Ιστοσελίδα · #10

OK σεραφείμ, Δημήτρη με πείσατε!!!

#11

AlexandrosG έγραψε:

Εστω δυο συνεχεις και κυρτες συναρτησεις σε ολο το $\mathbb{R}$ .
Ποσα κοινα σημεια μπορει να εχουν?

Το χειροπιαστό παράδειγμα του Σεραφείμ παραπάνω τα λέει όλα, και δεν χρειάζεται σχολιασμός.

Όμως επειδή είναι δύσκολο να φανταστούμε εποπτικά δύο κυρτές καμπύλες που μπλέκονται σαν πλεξούδες, δίνω έναν τρόπο που το αποσαφηνίζει.

Θεωρούμε ένα ημικύκλιο και μέσα το μια πολυγωνική γραμμή ΑBCDE... (η κόκκινη στο σχήμα). Παίρνουμε τώρα σημεία A', B', C', D', E', ... στα ενδιάμεσα των τόξων. Τότε η πολυγωνική γραμμή Α'B'C'D'E'... (πράσινη στο σχήμα) έχει την ζητούμενη ιδιότητα, και δεν μας ξενίζει ότι "περιπλέκεται εναλλάξ όσες φορές θέλουμε, ακόμη και άπειρες" με την πρώτη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Re: σημεια τομης κυρτων συναρτησεων

Μέλη σε σύνδεση