Αρμονική σειρά vs Διωνυμικοί συντελεστές

#1

Μια ακόμα γουστόζικη από το ίδιο βιβλίο :

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle C_{1}-\frac{1}{2}C_{2}+\frac{1}{3}C_{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}C_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ , όπου $\displaystyle C_{r}=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Μια ακόμα γουστόζικη από το ίδιο βιβλίο :

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle C_{1}-\frac{1}{2}C_{2}+\frac{1}{3}C_{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}C_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ , όπου $\displaystyle C_{r}=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Άλλη (;) λύση (*)

Αρχίζουμε από την ταυτότητα

$\displaystyle C_{0}-C_{1}x+C_{2}x^2-\cdots+(-1)^{n}C_{n}x^n= (1-x)^n$
και άρα
$\displaystyle C_{1}-C_{2}x+C_{3}x^2-\cdots+(-1)^{n-1}C_{n}x^{n-1}= \frac{1-(1-x)^n}{x} =\\ \,\,\,\,\, = 1 + (1-x) + (1-x)^2 + \cdots (1-x)^{n-1}$

Ολοκληρώνουμε τώρα από 0 έως 1. Δίνει το ζητούμενο αποτέλεσμα (**).

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) το ερωτηματικό πάει στο ότι η λύση είναι ουσιαστικά η ίδια με του Δημήτρη, αλλά δεν φαίνεται ίδια.

(**) Ξέρω, ξέρω ό Αναστάσης ζητά αλγεβρικό τρόπο (γιατί η άσκηση είναι από παλιό σχολικό βιβλίο, που οι μαθητές δεν έχουν διδαχθεί Απειροστικό). Υπάρχει και τέτοιος, βέβαια. Το αφήνω ως καλή άσκηση στο διώνυμο. Υπόδειξη: δείτε την λύση του Αλέξανδρου (Cretanman) σε "παρόμοια" άσκηση.

Αρμονική σειρά vs Διωνυμικοί συντελεστές

Αρμονική σειρά vs Διωνυμικοί συντελεστές

Re: Αρμονική σειρά vs Διωνυμικοί συντελεστές

Re: Αρμονική σειρά vs Διωνυμικοί συντελεστές

Μέλη σε σύνδεση