Τάξη πίνακα

Mikesar · #1

Καλησπέρα

. Ζητώ συγγνώμη αν έχει ξαναπροταθεί.
Ασχολούμενος με ένα πρόβλημα προέκυψε το ακόλουθο:
Δίνεται πίνακας

διάστασης $(2n+1)\times (2n+1)$ με τις εξής ιδιότητες:
1) Τα στοιχεία της διαγωνίου ισούνται με

2) Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία είναι

ή

3) Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ισούται με

Να αποδειχθεί ότι rank(A)=2n

#2

Από το (3) λαμβάνουμε ότι Av = 0

όπου

είναι το διάνυσμα με μόνο άσσους. Οπότε $\mathrm{rank}(A) \leqslant 2n$ .

Για να δείξουμε την ισότητα έστω J_k

ο $k \times k$ πίνακες που έχει παντού άσσους. Αρκεί να δείξω ότι ο $\det(J_{2n}- I_{2n})$ είναι περιττός. Αυτό σημαίνει ότι η ορίζουσα του άνω $(2n)\times (2n)$ υποπίνακα του

είναι περιττός και άρα διάφορος του

. Οπότε οι πρώτες

στήλες του

είναι γραμμικός ανεξάρτητες και άρα $\mathrm{rank}(A) \geqslant 2n$ .

Θα δείξω ότι $\det(J_k-I_k) = (-1)^{k-1}(k-1)$ . Πράγματι επειδή ο J_k

έχει $\mathrm{rank}(J_k)=1$ και $\mathrm{tr}(J_k)=k$ , τότε έχουμε $\det(J_k - \lambda I_k) = (-1)^k\lambda^{k-1}(\lambda-k)$ . Οπότε θέτοντας $\lambda = 1$ λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Τάξη πίνακα

Τάξη πίνακα

Re: Τάξη πίνακα

Μέλη σε σύνδεση