Περίκεντρο επί της διχοτόμου

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1447
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Περίκεντρο επί της διχοτόμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos »

Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου ABC εφάπτεται στην πλευρά BC στο σημείο D. Αν I_b και I_c είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ABD και ACD αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου AI_bI_c ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας \displaystyle{\angle BAC.}
Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Κορυφή
panos misiakos
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 04, 2013 1:35 pm

Re: Περίκεντρο επί της διχοτόμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panos misiakos »

Είναι άσκηση από το φετινό RMM !
Έστω I το έγκεντρο του ABC. Παρατηρούμε ότι 2\angle I_bAD +\angle DAI =\frac{\angle A}{2} =2\angle IAI_c +\angle DAI \Leftrightarrow \angle I_bAD =\angle IAI_c.
Οπότε για να ανήκει το περίκεντρο του AI_b I_c στην AI αρκεί AD \perp I_b I_c. Έστω ότι οι έγκυκλοι (I_b),(I_c) εφάπτονται της AD στα K,K' .
Τότε DK=\frac{1}{2} (AD +BD-AB)=\frac{1}{2}(AD+DC-AC)=DK' \Leftrightarrow K\equiv K' και το ζητούμενο έπεται.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες