Επαφή και παραλληλία

[panos misiakos]

Θεωρούμε τρίγωνο τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου και τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου . O εφάπτεται της στο .Έστω κύκλος κέντρου οποίος εφάπτεται στην στο και στον περίκυκλο του στο (και βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς τη ). Να δείξετε ότι .

[Petros N.]

Ωραία άσκηση Πάνο!

Αρχικά θα αποδείξω ένα χρήσιμο λήμμα:

Λήμμα 1: Έστω τρίγωνο όπου το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου και έστω το μέσο του ύψους που άγεται από το και το κέντρο του Α-παρεγγεγραμμένου. Τότε συνευθειακά.

Η ομοιοθεσία από το που στέλνει τον εγγεγραμμένο στν Α-παρεγγεγραμμένο στέλνει το στο , άρα συνευθειακά.
Στο τραπέζιο το είναι το σημείο τομής των διαγωνίων, άρα η ευθεία που ενώνει τα μέσα των παράλληλων πλευρών (δηλαδή η ) περνα από το .

Λημμα.jpg (43.28 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Πίσω στη λύση, αρκει να δειχθεί λόγω του λήμματος ότι ή αρκεί το παραλληλόγραμμο και εφόσον
, αρκεί
, όπου το ύψος από το και η ακτίνα του εφαπτόμενου κύκλου.

Για να δείξω αυτή τη σχέση χρησιμοποίησα μετρικές. Φαντάζομαι θα υπάρχει και γεωμετρική λύση.
Όπως στο σχήμα η προεκτείνεται μέχρι να τμήσει το κύκλο στα και έστω το μήκος των αντίστοιχων τμημάτων.

Από τον υπόλογισμό της δύναμης σημείου του ως προς τον περιγεγραμμένο έχω
Από τον υπόλογισμό της δύναμης σημείου του ως προς τον περιγεγραμμένο έχω




Από τον υπόλογισμό της δύναμης σημείου του ως προς τον περιγεγραμμένο με δύο τρόπους έχω: η οποία
χρησιμοποιώντας τις και λύνοντας ως προς γίνεται

Για διευκόλυνση έστω . Τότε:


(Τύπος του Ήρωνα)

Αντικαθιστώντας στην : .

Λυση.jpg (91.67 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές