Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

KARKAR · #1

: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.png (5.79 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο ( στο

) τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο η κάθετη πλευρά

,

η διάμεσος

και η υποτείνουσα

, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Θα μπορούσαν αυτά τα τμήματα , να αποτελέσουν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ?

margavare · #2

$AC=b,\quad BC=a,\quad AB=c,\quad CM=\sqrt{{{b}^{2}}+{{\left( \frac{c}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{4{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}$

Αν AC,CM,BC

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου έχουμε

$\begin{array}{l} C{M^2} = AC \cdot BC \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2} = a \cdot b \Leftrightarrow \sqrt {4{b^2} + {c^2}} = 2a \cdot b \Leftrightarrow 4{b^2} + {c^2} = 4\sqrt {{b^2} + {c^2}} \cdot b \Leftrightarrow \\ \\ 16{b^4} + 8{b^2} \cdot {c^2} + {c^4} = 16{b^4} + 16{b^2} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {c^4} = 8{b^2} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {c^4} = 8{b^2} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {c^2} = 8{b^2}\\ \\ {a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + 8{b^2} \Leftrightarrow a = 3b\\ \\ AC = b\\ CM = \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {4{b^2} + 8{b^2}} }}{2} = \sqrt 3 b\\ BC = a = 3b \end{array}$

Αν AC,CM,BC

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε

$\begin{array}{l} 2CM = AC + BC \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2} = a + b \Leftrightarrow 4{b^2} + {c^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \Leftrightarrow 4{b^2} + {c^2} = {b^2} + {c^2} + 2ab + {b^2} \Leftrightarrow \\ \\ 2{b^2} = 2ab \Leftrightarrow b = a \end{array}$

Αδύνατο.

KARKAR · #3

: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.png (6.85 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Δεν προτείνω κάτι ουσιαστικά διαφορετικό αλλά μπορούμε να συντομεύσουμε θεαματικά τη λύση θέτοντας

b=1

. Τότε : $(\sqrt{x^2+1})^2=1\cdot\sqrt{4x^2+1}...\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$ , μήκος εύκολα κατασκευαζόμενο .

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση