Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

mpanagiotou · #1

Καλησπέρα σας, σας ευχαριστώ πολύ που με δεχθήκατε στο φόρουμ σας ονομάζομαι Μαρία και σπουδάζω μαθηματικά .
Ήθελα να ρωτήσω για μια άσκηση γιατί παρόλου που έχω ψάξει δεν μπορώ να βγάλω άκρη.
Άσκηση
Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της

ισούται με $\left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}}$ .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της

.
Μέτρο της

ισούται $\int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt$
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το $f\cdot g$ ως συνάρτηση των μέτρων

και μέτρο

κτλ.
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας Μαρία

#2

mpanagiotou έγραψε: Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της ισούται με $\left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}}$ .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της .
Μέτρο της ισούται $\int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt$
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το $f\cdot g$ ως συνάρτηση των μέτρων και μέτρο κτλ.

Ναι, μπορούμε.

Σε χώρους πάνω από το $\mathbb R$ ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

$\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f+g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f-g \right \vert \right \vert ^ 2 }$

ενώ πάνω από το $\mathbb C$ ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

$\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f+g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f-g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert f+ig \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert f-ig \right \vert \right \vert ^ 2 }$

Οι πράξεις είναι ρουτίνα αλλά πρέπει να γίνουν με προσοχή για να μην χάσεις πρόσημα. Βασικό στοιχείο είναι ότι πάνω από το $\mathbb R$ , το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά ενώ πάνω από το $\mathbb C$ είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή αλλά συζυγής γραμμική (conjugate linear) ως προς την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Για την "συζυγή γραμμικότητα" βρήκα αυτό (6η γραμμή του ορισμού)

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Μέλη σε σύνδεση