Ασκήσεις Κύκλου

jim · #1

Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου $C:{x}^{2}+{y}^{2}=25$
1)όταν το σημείο Μ(1,2) ειναι το μέσο της.
2)όταν διέρχεται από το σημείο (-1,3) και έχει μήκος ίσο με 2 μονάδες

Ιστοσελίδα · #2

Η χορδή έχει εξίσωση της μορφής y = λx + β
Για τον προσδιορισμό των λ και β χρησιμοποιούμε ότι το σημείο Μ(1,2) επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας και το ότι η χορδή είναι κάθετη στο απόστημα της ΟΜ.

Για το β ερώτημα ανάλογη εργασία με το σημείο (-1,3) να επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας και αν ονομάσουμε Α και Β τα σημεία τομής της ευθείας με τον κύκλο προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες τους και χρησιμοποιούμε ότι ΑΒ = 2

jim · #3

για το πρώτο ερώτημα δεν αρκεί να πεις ότι το εσωτερικό γινόμενο των ΟΜ και ΜΑ είναι ίσο με μηδεν?? (όπου Ο το κέντρο του κύκλου, Α σημείο τομής της χορδής με τον κύκλο) θα βγει ότι:
x+2y-5=0 όπου x,y οι συντεταγμένες του Α..

Ιστοσελίδα · #4

Σωστός, ωραίος και γρήγορος ο jim
Μπράβο σου.

jim · #5

Δίνεται κύκλος x^2+y^2-4kx+2ky-5=0

να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από δύο σταθερά σημεία και να βρεθεί η κοινή χορδή τους...

mathxl · #6

Έχεις μηδενικό πολυώνυμο ως προς κ, έτσι βρίσκεις τα σταθερά σημεία (1,2) και (-1,-2) αφού ξέρεις τα σημεία έχεις εύκολα την κοινή χορδή ψ=2χ (την κοινή χορδή μπορείς να την βρεις πιο εύκολα χωρίς τον στοιχειώδη τρόπο εύρεση λ και χρήση ψ-ψο=λ(χ-χο))

jim · #7

Ευχαριστώ!

bab · #8

να βρεθει εξίσωση κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων C1:4x^2+4y^2=1

και

Αφού βρούμε την ακτίνα του κύκλου που ζητήται μετά τί άλλο να κάνω για να βρω τον κύκλο??

#9

bab έγραψε:να βρεθει εξίσωση κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων και
Αφού βρούμε την ακτίνα του κύκλου που ζητήται μετά τί άλλο να κάνω για να βρω τον κύκλο??

Ο πρώτος κύκλος έχει κέντρο το Ο(0, 0) και ακτίνα 0,5.
Ο δεύτερος κύκλος έχει κέντρο το Α(-1, 1) και ακτίνα $\sqrt{5}$

Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το Β(-0,5 , 0,5) και η ακτίνα του είναι ίση με ΒΟ = $\sqrt{(-0,5)^{2}+0,5^{2}}=\sqrt{0,5}$
Η εξίσωσή του είναι: (x+0,5)^2 +(y-0,5)^2=0,5

.

: 06-03-2010 kyklos.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 5564 φορές

Αν έχεις Geogebra, δες το συνημμένο αρχείο. Κατασκευάζουμε τους αρχικούς κύκλους. Κατόπιν τη διάκεντρο και τέλος κύκλο με κέντρο και σημείο. Η εξίσωσή του εμφανίζεται μόνη της...

Γιώργος Ρίζος

bab · #10

Rigio έγραψε:
bab έγραψε:να βρεθει εξίσωση κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων και
Αφού βρούμε την ακτίνα του κύκλου που ζητήται μετά τί άλλο να κάνω για να βρω τον κύκλο??
Ο πρώτος κύκλος έχει κέντρο το Ο(0, 0) και ακτίνα 0,5.
Ο δεύτερος κύκλος έχει κέντρο το Α(-1, 1) και ακτίνα $\sqrt{5}$

Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το Β(-0,5 , 0,5) και η ακτίνα του είναι ίση με ΒΟ = $\sqrt{(-0,5)^{2}+0,5^{2}}=\sqrt{0,5}$
Η εξίσωσή του είναι: .
06-03-2010 kyklos.png
Αν έχεις Geogebra, δες το συνημμένο αρχείο. Κατασκευάζουμε τους αρχικούς κύκλους. Κατόπιν τη διάκεντρο και τέλος κύκλο με κέντρο και σημείο. Η εξίσωσή του εμφανίζεται μόνη της...

Γιώργος Ρίζος

Πως βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Β??
Εκεί είχα κολλήσει, ίσως να μη το εξήγησα καλά...Τα όλα βγαίνουν εύκολα...
Το Β πώς το βρίσκουμε??

Ευχαριστώ!

#11

bab έγραψε: Πως βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Β??
Εκεί είχα κολλήσει, ίσως να μη το εξήγησα καλά...Τα όλα βγαίνουν εύκολα...
Το Β πώς το βρίσκουμε??

Ευχαριστώ!

Σύμφωνα με την άσκηση η διάκεντρος των δύο δοσμένων κύκλων είναι διάμετρος του κύκλου που θέλουμε, άρα το κέντρο του Β θα είναι στο μέσον του τμήματος που ενώνει τα δύο κέντρα των πρώτων κύκλων (με το συμβολισμό του Γιώργου το Β θα είναι μέσον του ΟΑ). Θυμίσου τώρα πως βρίσκουμε το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος όταν γνωρίζουμε τα άκρα και θα καταλάβεις άμεσα την απάντηση του Γιώργου για το σημείο Β.

Αλέξανδρος

blondy · #12

Δίνονται οι κύκλοι $x^{2}+y^{2}=2$ και
$x^{2}+y^{2}+2x+2y-2=0$ . Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες σε ένα σημείο.

Προσπάθησα να βρω τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων και στη συνέχεια να υπολόγιζα τη γωνία τους χωρίς καμιά επιτυχία...

Δίνεται η ευθεία 5x+3y+2

και ο κύκλος
$x^{2}+y^{2}-x-2=1$ που τέμνονται στα Μ και Ν . Ακολουθούν πολλά ερωτήματα τα οποία δε μπορώ να απαντήσω αφού από τη λύση του συστήματος βρήκα το (-1,1) και το $\left(-\frac{61}{34},\frac{23}{34} \right)$ ???

#13

Για την πρώτη:
Τα κοινά σημεία των κύκλων είναι τα Α(-1,1) και Β(1,-1).
Το κέντρο του πρώτου κύκλου είναι το Ο(0,0) και του δεύτερου το Κ(-1,-1).

Οι εφαπτομένες από το Α είναι:
* για τον πρώτο κύκλο η $-x+y=2 \Leftrightarrow y=x+2$
* γιον δεύτερο κύκλου η y=1

, αφού αν

είναι σημείο της εφαπτομένης θα ισχύει ότι:
$\vec{AK}\vec{AM}=0 \Leftrightarrow y=1$
Συνεπώς η γωνία που σχηματίζουν είναι 45^o

.

Οι εφαπτομένες από το B είναι:
* για τον πρώτο κύκλο η $x-y=2 \Leftrightarrow y=x-2$
* γιον δεύτερο κύκλου η x=1

, αφού αν

είναι σημείο της εφαπτομένης θα ισχύει ότι:
$\vec{BK}\vec{BN}=0 \Leftrightarrow x=1$
Συνεπώς η γωνία που σχηματίζουν είναι 45^o

.

nightchild · #14

Για το δεύτερο βρήκα τα σημεία (-1,1)

και $(\frac{23}{34},-\frac{61}{34})$ οπότε σωστά σχεδόν τα βρήκες.

blondy · #15

Ναι , απροσεξία, αυτά εννοούσα...Και μετά που θέλω να δείξω ότι για κάθε λ πραγματικό η εξίσωση $x^{2}+y^{2}-x-2+\lambda (5x+3y+2)=0$ παριστάνει κύκλο που διέρχεται από αυτά τα σημεία πρέπει να δείξω ότι την επαληθεύουν? Μήπως έχει γίνει τυπογραφικό λάθος και πρέπει να είναι ο κύκλος $x^{2}+y^{2}-x-2=0$ ?
Πάλι χάλια βγαίνουν τα νούμερα αλλά μετά μπορύμε να δούμε την εξίσωση
$x^{2}+y^{2}-x-2+\lambda (5x+3y+2)=0$ ως πολυώνυμο ας προς λ οπότε καταλήγουμε στο ίδιο σύστημα που είχαμε για τα σημεία τομής άρα διέρχεται.

Ασκήσεις Κύκλου

Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Re: Ασκήσεις Κύκλου

Μέλη σε σύνδεση