Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

nikoszan · #1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{f:A \to R}$ με $\displaystyle{f\left( z \right) = \left| {z - 2} \right| + \left| {z - 2i} \right|}$ ,
όπου $\displaystyle{A = \left\{ {z \in C/\left| z \right| = 1} \right\}}$ .
Ν.Ζ.

#2

Έστω $\displaystyle{z=x+yi, x,y\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x^2+y^2=1.}$

Καλούμαστε να βρούμε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{K:=\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{5-4x}+\sqrt{5-4y}.}$

Από την ανισότητα $\displaystyle{\sqrt{A}+\sqrt{B}\leq \sqrt{2(A+B)}}$ έχουμε

$\displaystyle{K\leq \sqrt{2(10-4(x+y))}=2\sqrt{5-2(x+y)}.}$

Όμως $\displaystyle{(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)\implies |x+y|\leq \sqrt{2}\implies x+y\geq -\sqrt{2}}$

άρα, από την προηγούμενη ανισότητα, βρίσκουμε

$\displaystyle{K\leq 2\sqrt{5+2\sqrt{2}}.}$

Επειδή η ισότητα πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ η τιμή $\displaystyle{2\sqrt{5+2\sqrt{2}}}$ είναι το ζητούμενο μέγιστο.

#3

nikoszan έγραψε:Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{f:A \to R}$ με $\displaystyle{f\left( z \right) = \left| {z - 2} \right| + \left| {z - 2i} \right|}$ ,
όπου $\displaystyle{A = \left\{ {z \in C/\left| z \right| = 1} \right\}}$ .
Ν.Ζ.

Καλημέρα Νίκο!
Αν $z=x+yi, x, y \in \mathbb{R}$
Έχω:

$\displaystyle{\left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \mathop = \limits^{{x^2} + {y^2} = 1} ...\sqrt {5 - 4x} + \sqrt {5 - 4y} }$ \displaystyle{\displaystyle{\mathop \le \limits^{C - S} \sqrt 2 \sqrt {10 - 4\left( {x + y} \right)} } Όμως ισχύει

\displaystyle{x = \cos a,y = \sin a,a \in [0,2\pi )} Τότε:

\displaystyle{x + y = \cos a + \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) \Rightarrow - \sqrt 2 \le x + y \le \sqrt 2 \Leftrightarrow ....10 - 4\sqrt 2 \le 10 - 4\left( {x + y} \right) \le 10 + 4\sqrt 2 }} $\displaystyle{ \Leftrightarrow \sqrt {10 - 4\sqrt 2 } \le \sqrt {10 - 4\left( {x + y} \right)} \le \sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {10 - 4\sqrt 2 } \le \sqrt 2 \sqrt {10 - 4\left( {x + y} \right)} \le \sqrt 2 \sqrt {10 + 4\sqrt 2 } }$

Δηλαδή η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle{\sqrt 2 \sqrt {10 + 4\sqrt 2 } = 2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }$ η οποία λαμβάνεται όταν $\displaystyle{x = y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$ δηλαδή για τον μιγαδικό $\displaystyle{z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i}$ και επειδή χρησιμοποιήθηκε εμβόλιμα όταν $\displaystyle{a = \frac{{5\pi }}{4}}$

#4

Ας δούμε και γεωμετρικό επιχείρημα που ερμηνεύει το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν οι δύο προηγούμενες λύσεις. Δεν άνω τις λεπτομέρειες αλλά είναι απλό να τις συμπληρώσει κανείς.

Τα A, B

είναι τα σημεία 2, 2i

, αντίστοιχα. Η παράσταση f(z)

είναι το μήκος της γραμμής MA+MB

(κόκκινη στο σχήμα) καθώς το

διατρέχει τον σημειωμένο μοναδιαίο κύκλο. Στο σχήμα το

έχει ληφθεί στην θέση του ζητούμενου μεγίστου (και το

είναι η αντίστοιχη του ελαχίστου). Εύκολα βλέπουμε ότι το

είναι το $-\frac {\sqrt 2}{2} - \frac {\sqrt 2}{2}i$ , όπως πριν.

Φιλικά,

Μιχάλης

Grosrouvre · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας δούμε και γεωμετρικό επιχείρημα που ερμηνεύει το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν οι δύο προηγούμενες λύσεις. Δεν άνω τις λεπτομέρειες αλλά είναι απλό να τις συμπληρώσει κανείς.

Τα είναι τα σημεία , αντίστοιχα. Η παράσταση είναι το μήκος της γραμμής (κόκκινη στο σχήμα) καθώς το διατρέχει τον σημειωμένο μοναδιαίο κύκλο. Στο σχήμα το έχει ληφθεί στην θέση του ζητούμενου μεγίστου (και το είναι η αντίστοιχη του ελαχίστου). Εύκολα βλέπουμε ότι το είναι το $-\frac {\sqrt 2}{2} - \frac {\sqrt 2}{2}i$ , όπως πριν.

Φιλικά,

Μιχάλης

Καλησπέρα σας!

Θα με ενδιέφερε πάρα πολύ το να δω τις λεπτομέρειες που παραλείψατε. Αυτή ακριβώς η γεωμετρική αντιμετώπιση, ταυτίζεται με τη δική μου, όταν προσπάθησα την άσκηση.

Δεν ένιωθα απλά άνετος, καθώς μου έλλειπε το γιατί...

Γιατί δηλαδή ο (λογικός - προφανής!!) $z_0 = -\frac {\sqrt 2}{2} - \frac {\sqrt 2}{2}i$ να μεγιστοποιεί την συνάρτηση; Το μυαλό μου πήγε στην τριγωνική ανίσωση και σε αναφορές στα αντίστοιχα ημιεπίπεδα που ορίζει η y = x

, αλλά δεν έχω κάτι ικανοποιητικό.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#6

Grosrouvre έγραψε: Θα με ενδιέφερε πάρα πολύ το να δω τις λεπτομέρειες που παραλείψατε.

Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα A,B

και σταθερό MA+MB

(γαλάζια στο σχήμα). Αυτή εφάπτεται του μικρού κύκλου (γιατί έχουν κοινή εφαπτομένη).

Εκτός από το κοινό σημείο τους, μικρός κύκλος βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στην έλλειψη (αυτό είναι γνωστό αλλά ακολουθεί απόδειξη (*). Ισχύει διότι το κέντρο του κύκλου είναι στον μικρό ημιάξονα και η ακτίνα του μικρότερη από τον μικρό ημιάξονα). Άρα για οποιοδήποτε σημείο

του κύκλου έχουμε $KA+KB \le MA+MB$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Στο δεξί σχήμα έχω γυρίσει την έλλειψη στην όρθια θέση. Έχει εξίσωση $\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} =1$ και o κύκλος x^2+(y-r)^2 = (b-r)^2

με

. Λύνοντας θα βρούμε κοινό σημείο μόνο το M(0,b)

. Δηλαδή δεν έχουν άλλο κοινό σημείο πέραν του προφανούς, όπως θέλαμε. Λεπτομερέστερα, η πρώτη εξίσωση δίνει $y\le b$ . Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις αφού πρώτα πολλαπλασιάσουμε την πρώτη επί b^2

έχουμε

$2yr = \left ( 1 - \frac {b^2}{a^2} \right) x^2 + 2br \ge 2br$ , άρα $y\ge b$ οπότε y=b

, και άρα

.

Al.Koutsouridis · #7

Καλησπέρα,

Εναλλακτικά δουλεύοντας στο σχήμα του κ.Λαμπρου.

Από την ανισότητα αριθμητικού τετραγωνικού μέσου έχουμε:

$\frac{AM+BM}{2} \leq \sqrt{\frac{AM^2+BM^2}{2}}$

Αν

το μέσο του τμήματος

από το θέωρημα διαμέσων θα έχουμε

$\frac{AM^2+BM^2}{2} = MN^2 + \frac{1}{4}AB^2$

Επειδή

σταθερό αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα

το οποίο μεγιστοποιείται όταν η ευθεία που ορίζει είναι διάμετρος.

Grosrouvre · #8

Πολύ ωραία! Ευχαριστώ και πάλι.

Ωmega Man · #9

Αν ζητούσε για $|z|\leq 1$ .
Από αρχή μεγίστου το max της συνάρτησης πιάνεται στο σύνορο |z|=1

, οπότε με αντικατάσταση καταλήγουμε στο ίδιο πρόβλημα που έθεσε ο Νίκος. Το μόνο που θα είχαμε να δούμε είναι το max της $|\cos(\theta)-2 + \texttt{i}\sin(\theta)| + |\cos(\theta) +(\sin(\theta) - 2 ) \texttt{i}|$ το οποίο πιάνεται στο 5π/4 (όλα μέσα στο απόλυτο αρνητικά άρα αυξάνουν την τιμή).

Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Re: Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ(?) ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Μέλη σε σύνδεση