mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2015 5:19 pm**

Καλησπέρα.

Δίνεται η $f: R\rightarrow R$ με $f(2^{x}-3x)=2^{f(x)}-3f(x), x\in R$
Να δείξετε ότι:

α) Υπάρχει $\xi \in R$ τέτοιο ώστε $f(f(\xi ))=\xi$

β) Αν η

είναι συνεχής στο

, υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{o}\in R$ τέτοιο ώστε $f(x_{o})=x_{o}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2015 5:52 pm**

μία απάντηση για το β) με επιφυλάξεις..
Έστω ότι η εξίσωση f(x)=x

δεν έχει λύση
Αφού η

είναι συνεχής στο

για κάθε

στο

(1) ή

για κάθε

στο

(2)
στην

θέτω όπου

το

και παίρνω:
f(f(x))<f(x)

και από το α) ερώτημα για χ=ξ , ξ<f(ξ)
άτοπο .Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν δουλέψουμε την δεύτερη περίπτωση.
Άρα η εξίσωση f(x)=x

έχει μία τουλάχιστον λύση

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2015 6:10 pm**

Για το α), λύσε πρώτα την εξίσωση 2^x-3x=x...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2015 6:28 pm**

1)
H σχέση που δίνεται αν θέσω $g(x)=2^x-3x\Rightarrow f(g(x))=g(f(x))$ (1)

Θα δείξω ότι υπάρχει $\xi: g(\xi)=\xi.$ , που είναι έυκολο με Θ.ΜΠΟΛΤΖΑΝΟ στο [0,1] (Υπάρχουν μάλιστα δύο to 4 και ενα στο(0,1))

Τότε γι'αύτο το ξ θα δείξω ότι ισχύει : $f(\xi)=\xi.$

Πράγματι $f(g(\xi)))=g(f(\xi))\Rightarrow f(\xi)=g(f(\xi))\Rightarrow f(\xi)=\xi$

Ετσι $f(f(\xi))=f(\xi)=\xi$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2015 7:55 pm**

Δεν είναι σωστή η λύση.Τα σταθερά σημεία της g είναι δύο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 14, 2015 12:42 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν είναι σωστή η λύση.Τα σταθερά σημεία της g είναι δύο.

Καλσπέρα

συμφωνόντας με τον Σταύρο τεκμηριώνω την άποψη μου με την παρακάτω προσέγγιση...

Αν $g(x)={{2}^{x}}-3x$ σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει $f(g(x))=g(f(x)),\,\,\,x\in R$

Θεωρώντας την εξίσωση $g(x)=x\Leftrightarrow {{2}^{x}}-3x=x\Leftrightarrow {{2}^{x}}-4x=0$ και μελετώντας την συνάρτηση

$h(x)={{2}^{x}}-4x$ δείχνουμε πράγματι ότι έχει δύο μοναδικές ρίζες μία ${{x}_{1}}\in (0,\,\,1)$ και την ${{x}_{2}}=4$

Τώρα από $f(g(x))=g(f(x)),\,\,\,x\in R$ ισχύει ότι $f(g({{x}_{1}}))=g(f({{x}_{1}}))\Leftrightarrow f({{x}_{1}})=g(f({{x}_{1}}))$

επομένως το $f({{x}_{1}})$ είναι ρίζα της g(x)=x

Ρωτάω τώρα εγώ τι μας εξασφαλίζει ότι $f({{x}_{1}})={{x}_{1}}$ και δεν είναι $f({{x}_{1}})=4$

Θεωρώ ότι για να σωθεί το θέμα πρέπει να αλλαχθεί η $g(x)={{2}^{x}}-3x$

μία πρόταση που είχα κάνει στο δημιουργό από το απόγευμα που έγινε η δημοσίευση. Περιμένω εκτιμήσεις

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 14, 2015 1:00 am**

Bασίλη καλη χρονιά .

Τα μαθηματικά δεν είναι εκτιμήσεις ή γνώμες . Επειδή η συνάρτηση g τέμνει την διχοτόμο σε δύο σημεία και στα ιδια

σημεία, τέμνει και η f, ti εκτίμηση ,περιμένεις καλέ μου φίλε?

Αν κάποιος συνάδελφος γνωρίζει καλά ας βγάλει κάποιον λάθος και τέλος.

με εκτίμηση

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 14, 2015 1:26 am**

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν είναι σωστή η λύση.Τα σταθερά σημεία της g είναι δύο.
Καλσπέρα συμφωνόντας με τον Σταύρο τεκμηριώνω την άποψη μου με την παρακάτω προσέγγιση...

Αν $g(x)={{2}^{x}}-3x$ σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει $f(g(x))=g(f(x)),\,\,\,x\in R$

Θεωρώντας την εξίσωση $g(x)=x\Leftrightarrow {{2}^{x}}-3x=x\Leftrightarrow {{2}^{x}}-4x=0$ και μελετώντας την συνάρτηση

$h(x)={{2}^{x}}-4x$ δείχνουμε πράγματι ότι έχει δύο μοναδικές ρίζες μία ${{x}_{1}}\in (0,\,\,1)$ και την ${{x}_{2}}=4$

Τώρα από $f(g(x))=g(f(x)),\,\,\,x\in R$ ισχύει ότι $f(g({{x}_{1}}))=g(f({{x}_{1}}))\Leftrightarrow f({{x}_{1}})=g(f({{x}_{1}}))$

επομένως το $f({{x}_{1}})$ είναι ρίζα της

Ρωτάω τώρα εγώ τι μας εξασφαλίζει ότι $f({{x}_{1}})={{x}_{1}}$ και δεν είναι $f({{x}_{1}})=4$

Θεωρώ ότι για να σωθεί το θέμα πρέπει να αλλαχθεί η $g(x)={{2}^{x}}-3x$

μία πρόταση που είχα κάνει στο δημιουργό από το απόγευμα που έγινε η δημοσίευση. Περιμένω εκτιμήσεις

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης