απορια

KapioPulsar · #1

αν η φ κυρτη η κοιλη αντιστιχα δεν θα πρεπει παντα η φ' συνεχης????

#2

KapioPulsar έγραψε:αν η φ κυρτη η κοιλη αντιστιχα δεν θα πρεπει παντα η φ' συνεχης????

Η φ' μπορεί να μην υπάρχει καν (π.χ. φ(x) = |x|).

Μ.

Edit: διέγραψα το υπόλοιπο μήνυμα, ως λάνθασμένο (ένα λάθος πρόσημο και να χάλαγε όλα). Δημήτρη, ευχαριστώ για την επισήμανση

#3

Μιχάλη, νομίζω το παράδειγμά σου είναι λανθασμένο.

Έχω την εντύπωση πως αν υπάρχει η παράγωγος μιας κυρτής συνάρτησης τότε πρέπει να είναι συνεχής. Και αυτό διότι πρέπει η παράγωγος να είναι αύξουσα (αλλιώς η συνάρτηση δεν είναι κυρτή). Από την άλλη οι αύξουσες συναρτήσες έχουν αριστερά και δεξιά όρια. Οι παραγώγοι όμως ικανοποιούν το θεώρημα ενδιαμέσης τιμής και άρα σε αυτήν την περίπτωση η παράγωγος πρέπει να είναι συνεχής.

kyros · #4

η πιο καλη προσεγγιση νομιζω οτι ειναι αυτη που χρησιμοποιοταν παλια, οπου στα υποπτα σημεια καμπησ ,εκει δηλαδη το προβλημα, παιρναμε την παραγωγο δεξια και αριστερα του σημειου ( x_0 ,f(x_0) )

με ορια και αν οι δυο αυτεσ συναρτησεισ ορισμενεσ κοντα στο σημειο αυτο δεξια και αριστερα αυτου αντιστοιχα ειχαν ιδιο συντελεστη διευθυνσεισ (λ) εφαπτομενησ και ισο με μηδεν το ( x_0 ,f(x_0) )

τοτε ο σημειο ηταν σιγουρα σημειο καμπησ. αν λ>ο κυρτη αν λ<0 κοιλη.εφοσον φυσικα f συνεχεισ . ετσι μπορει στο σημειο να μην οριζεται καν η f' παρα μονο τα ορια δεξια αριστερα να ειναι ισα
για αυτο και συμφωνω με τον αγαπητο μιχαλη

KapioPulsar · #5

και εγω αφτα ενοητε πιστεβω αλλα θα ηθελα μια περετερο αποψη-γνωμη λογους των δικλαδον και ν-κλαδον συναρτησεων (ενοω πως υποστιριζω την ιδεα μου! αν φ κυλη ΄φ' συνεχης σε καθε περιπτοση!!)

#6

KapioPulsar έγραψε:και εγω αφτα ενοητε πιστεβω αλλα θα ηθελα μια περετερο αποψη-γνωμη λογους των δικλαδον και ν-κλαδον συναρτησεων (ενοω πως υποστιριζω την ιδεα μου! αν φ κυλη ΄φ' συνεχης σε καθε περιπτοση!!)

Παρακαλώ KapoioPulsar να κάνεις συνειδητή προσπάθεια να γράφεις στοιχειωδώς σωστά ελληνικά όπως, άλλωστε, απαιτούν οι κανονισμοί του mathematica και ο ελάχιστος σεβασμός προς τα υπόλοιπα μέλη.

Μεταγράφω το κείμενό σου ως δείγμα

και εγώ, εννοείται, αυτά πιστεύω αλλά θα ήθελα μια περαιτέρω άποψη-γνώμη λόγω των δίκλαδων και ν-κλαδων συναρτήσεων (εννοώ πως υποστηρίζω την ιδέα μου! Αν φ κοίλη, φ’ συνεχής σε κάθε περίπτωση)

#7

Βάζω λίγες περισσότερες λεπτομέρειες σε αυτά που έγραψα χθες.

Υπάρχουν παραδείγματα που η

είναι κυρτή αλλά η f{'}

δεν υπάρχει παντου. Ας υποθέσουμε όμως πως η

είναι κυρτή σε κάποιο διάστημα και η f{'}

ορίζεται παντού σε αυτό το διαστημα. Θα δείξουμε ότι η f{'}

είναι συνεχής

1) Η f{'}

είναι είναι αύξουσα

Ας υποθεσουμε ότι υπάρχει x < y

με

. Υπάρχει $\delta > 0$ ώστε $x < x+\delta < y - \delta < y$ και $\displaystyle{ \frac{f(x+\delta) - f(x)}{\delta} > \frac{f(y) - f(y-\delta)}{\delta}}$ .

Αν $\displaystyle{\frac{f(x+\delta) - f(x)}{\delta} > \frac{f(y-\delta) - f(x+\delta)}{y - x - 2\delta}}$ τότε η συνάρτηση δεν είναι κυρτή επειδή τότε θα ίσχυε $\displaystyle{f(x+\delta) > \frac{\delta f(y-\delta) + (y-x-2\delta)f(x)}{y-x-\delta} \geslant f\left( \frac{\delta(y-\delta) + x(y-x-2\delta)}{y-x-\delta} \right) = f(x+\delta)}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{ \frac{f(y-\delta) - f(x+\delta)}{y - x - 2\delta} >\frac{f(y) - f(y-\delta)}{\delta} }$ και με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο.

2) Η f{'}

έχει σε όλα τα σημεία αριστερά και δεξιά όρια.

Πράγματι επειδή η

είναι αύξουσα αν $x_1 < x_2 < \cdots$ με $x_n \to x$ τότε η ακολουθία (x_n)

είναι αύξουσα και φραγμένη από πάνω άρα το αριστερό όριο υπάρχει. Ομοίως και για το δεξί όριο.

3) Η f{'}

είναι συνεχής

Αν σε κάποιο σημείο

δεν ήταν συνεχής τότε θα είχαμε $\lim_{z \to x^-} f{'}(z) \neq \lim_{z \to x^+} f{'}(z)$ και άρα η f{'}

δεν έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής, άτοπο.

Ilias_Zad · #8

Ωραια.
Aς βαλω και εγω ακομη μια.
Να δειχτει οτι αν εχουμε

μια συναρτηση απο το [a,b]

στο

,που ειναι και κυρτη στο πεδιο ορισμου της τοτε ειναι και συνεχης στο ανοικτο (a,b)

.

#9

Ilias_Zad έγραψε:Ωραια.
Aς βαλω και εγω ακομη μια.
Να δειχτει οτι αν εχουμε μια συναρτηση απο το στο ,που ειναι και κυρτη στο πεδιο ορισμου της τοτε ειναι και συνεχης στο ανοικτο .

Δείτε και αυτό viewtopic.php?f=5&t=99&p=406&hilit=%CE% ... CE%AE#p406
Μαυρογιάννης

Ιστοσελίδα · #10

Εξάλλου μία συνάρτηση λέγεται κυρτή στο διάστημα [α,β], αν
$f(kx+(1-k)y) \leq kf(x) + (1-k)f(y), \forall x,y \in [a,b], 0 \leq k \leq 1$

απορια

απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Re: απορια

Μέλη σε σύνδεση