Διπλό άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

galactus: Δημοσιεύσεις: 22; Εγγραφή: Κυρ Ιαν 29, 2012 3:10 pm

Διπλό άθροισμα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από galactus » Δευ Οκτ 12, 2015 9:57 pm

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(\frac{\pi}{3}(n-k))}{nk(n+k)}=**\frac{2\pi}{9}Cl_{2}(\pi/3)+CL_{3}(\pi/3)+CL_{3}(\frac{2\pi}{3})=-1/9\zeta(3)+\frac{\pi \sqrt{3}}{27}\psi_{1}(1/3)-\frac{2\pi^{3}\sqrt{3}}{81}}}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle{\frac{\cos(\frac{\pi}{3}(n-k))}{kn(n+k)}$

$\displaystyle =\overbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(\pi k/3)\cos(\pi n/3)}{kn^{2}}}^{0}}-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(\pi k/3)\cos(\pi n/3)}{n^{2}(k+n)}$

$\displaystyle +\overbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi k/3)\sin(\pi n/3)}{kn^{2}}}^{\frac{\pi \sqrt{3}}{18}\psi_{1}(1/3)-\frac{\pi^{3}\sqrt{3}}{27}=\frac{\pi}{3}Cl_{2}(\pi /3)**}-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi k/3)\sin(\pi n/3)}{n^{2}(k+n)}}$

** $\displaystyle Cl_{2}(\frac{\pi}{3})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi n/3)}{n^{2}}, \;\ CL_{3}(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)}{n^{3}}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Μια άλλη διαδρομή που πήρα ήταν με την χρήση της συνάρτησης Βήτα για να πάρω το άθροισμα:

$\displaystyle{\displaystyle 1/2\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{(n+1)(2n+1)\binom{2n}{n}}=1/3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}-2/3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}\binom{2n}{n}}}}$

Αν μπορούσαμε να δείξουμε ότι το αριστερό άθροισμα ισούται με το δεξί άθροισμα, θα το είχαμε αποδείξει, επειδή το δεξί άθροισμα είναι γνωστό αποτέλεσμα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τα καταφέρνω και τόσο με τον χειρισμό αθροισμάτων. Το γνωρίζω ότι είναι ισοδύναμα, αλλά πως μπορούμε να το αποδείξουμε;

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες