Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Ιστοσελίδα · #1

Παραθέτω την παρακάτω κλασσική άσκηση με λύση και περιμένω σχολιασμό και συζήτηση.

Αν $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ και |z_1|<1, |z_2|<1

να αποδειχθεί ότι :
$|z_1 - z_2|< |1-z_1 \overline{z_2}|$

"Λύση προς σχολιασμό"

$|z_1 - z_2|< |1 - z_1\overline{z_2}| \Leftrightarrow |z_1 - z_2|^2< |1 - z_1\overline{z_2}|^2 \Leftrightarrow \newline (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}< (1-z_1\overline{z_2})(1-\overline{z_1}z_2) \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} -z_1 \overline{z_2} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 - z_1 \overline{z_2}-z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 -z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline |z_1|^2 + |z_2|^2 < 1 + |z_1|^2|z_2|^2 \Leftrightarrow \newline (|z_1|^2-1)(|z_2|^2-1)>0$

το οποίο ισχύει.

Ευχαριστώ!

A.Spyridakis · #2

Υποθέτω ότι η συζήτηση πρέπει να περιστραφεί γύρω από την -ανύπαρκτη- σχέση διάταξης στους μιγαδικούς.
Στη συγκεκριμένη άσκηση πάντως, θεωρώ ότι δεν υπάρχει κανένα τέτοιο πρόβλημα, αφού αρχικά τα δύο μέλη ήταν πραγματικοί, οπότε οποιαδήποτε πράξη ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ (όπως εδώ), πάλι πραγματικό θα έδινε. Προφανώς δεν θα μπορούσαμε π.χ. να προσθέσουμε σε κάποιο βήμα το z, αλλά κάτι τέτοιο δεν έγινε.

Αντώνης

#3

polysot έγραψε:Παραθέτω την παρακάτω κλασσική άσκηση με λύση και περιμένω σχολιασμό και συζήτηση.

Αν $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ και να αποδειχθεί ότι :
$|z_1 - z_2|< |1-z_1 \overline{z_2}|$

"Λύση προς σχολιασμό"

$|z_1 - z_2|< |1 - z_1\overline{z_2}| \Leftrightarrow |z_1 - z_2|^2< |1 - z_1\overline{z_2}|^2 \Leftrightarrow \newline (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}< (1-z_1\overline{z_2})(1-\overline{z_1}z_2) \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} -z_1 \overline{z_2} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 - z_1 \overline{z_2}-z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 -z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline |z_1|^2 + |z_2|^2 < 1 + |z_1|^2|z_2|^2 \Leftrightarrow \newline (|z_1|^2-1)(|z_2|^2-1)>0$

το οποίο ισχύει.

Ευχαριστώ!

Μήπως θέλεις να τονίσεις το σημείο που η διαγραφή των δύο μιγαδικών , μετά τις πρώτες πράξεις , δεν έγινε ως ομάδα(για να είναι πραγματικός), αλλά βήμα βήμα σε δύο ισοδυναμίες ;

$|......................... z_1 \overline{z_1} -z_1 \overline{z_2} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 - z_1 \overline{z_2}-z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} -z_2 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 -z_2 \overline{z_1} +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2} \Leftrightarrow \newline z_1 \overline{z_1} +z_2 \overline{z_2}< 1 +z_1 \overline{z_1}z_2 \overline{z_2}......................$

Σε εκείνο το σημείο θεωρώ ότι θέλεις να εστιάσουμε την κουβέντα και σίγουρα έχεις δίκαιο , αν εννοείς αυτό !Η διαγραφή της παράστασης

$-z_1 \overline{z_2} -z_2 \overline{z_1}$

από τα δύο μέλη πρέπει να γίνει σε ένα βήμα , διότι αυτή η παράσταση είναι πραγματικός , όχι όμως και ο κάθε όρος της.Σίγουρα πολύ εύστοχη παρατήρηση !

Μπάμπης

Ιστοσελίδα · #4

Μπάμπη ακριβώς αυτό είναι το θέμα μου προς συζήτηση.
Περιμένω όμως λίγο μήπως δω και άλλες απόψεις.
Κρατώ προς το παρόν ότι κάποιος μπορεί να μην το θεωρήσει σημαντικό -διότι δεν το παρατήρησε αρκετή ώρα ενδεχομένως - αφού υπέθεσε ότι δεν προσθέτουμε μιγαδικό στην πραγματική ανίσωση.
Ενώ κάποιος άλλος από την άλλη πλευρά έχοντας περισσότερη ώρα παρατήρησης είδε ότι προσθέσαμε (διότι αφαιρέσαμε) ένα μιγαδικό.

Δε λαμβάνω ακόμα θέση. Περιμένω περαιτέρω παρατηρήσεις και από άλλους συναδέλφους...

#5

Συμφωνώ με τις ενστάσεις. Ένα τέθοιο παράδειγμα θαρρώ υπάρχει και στο βιβλίο του Δασκάλου Μιχάλη.

Ιστοσελίδα · #6

Κανείς άλλος βρε παιδιά;

#7

Νομίζω δεν θα διαφωνήσει κανείς ότι η λύση είναι λανθασμένη. Μπορεί κάποιος να μην το παρατηρήσει αλλά το λάθος δεν παύει να υπάρχει.

Τώρα αν κάποιος στις εξετάσεις έδινε την ίδια ακριβώς λύση παραλείποντας την 4η γραμμή τι θα κάναμε; Από την μία η λύση σίγουρα δεν είναι λανθασμένη. Από την άλλη όμως δεν είμαστε σίγουροι αν ο μαθητής είχε υπόψη του ότι δούλευε με πραγματικούς αριθμούς ή αν δεν το είχε προσέξει καν.

#8

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Συμφωνώ με τις ενστάσεις. Ένα τέθοιο παράδειγμα θαρρώ υπάρχει και στο βιβλίο του Δασκάλου Μιχάλη.

Ναι, πράγματι υπάρχει παρόμοιο παράδειγμα στο κεφάλαιο "Ερωτήσεις κρίσης - κρυμμένα λάθη" σελίς 8. Δίνεται και η απάντηση/σχολιασμός που περιστρέφεται στο ίδιο μήκος κύματος με τα παραπάνω λεγόμενα.

Μ.

Ιστοσελίδα · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Συμφωνώ με τις ενστάσεις. Ένα τέθοιο παράδειγμα θαρρώ υπάρχει και στο βιβλίο του Δασκάλου Μιχάλη.
Ναι, πράγματι υπάρχει παρόμοιο παράδειγμα στο κεφάλαιο "Ερωτήσεις κρίσης - κρυμμένα λάθη" σελίς 8. Δίνεται και η απάντηση/σχολιασμός που περιστρέφεται στο ίδιο μήκος κύματος με τα παραπάνω λεγόμενα.

Μ.

Για ποιο βιβλίο συζητάμε παρακαλώ;

Ας τοποθετηθώ κι εγώ :
Πράγματι είναι λάθος το συγκεκριμένο.
Όμως θα πρέπει έτσι να ελέγχουμε σε κάθε περίπτωση αν κάτι είναι μιγαδικός ή πραγματικός;

#10

polysot έγραψε:
Για ποιο βιβλίο συζητάμε παρακαλώ;

Επαναληπτικά Θέματα στα Μαθηματικά Γ'-Λυκείου

Δαμβακάκις-Κτιστάκης-Λάμπρου-Σπανουδάκης

#11

polysot έγραψε:.............
Όμως θα πρέπει έτσι να ελέγχουμε σε κάθε περίπτωση αν κάτι είναι μιγαδικός ή πραγματικός;

Σωτήρη,
ο προβληματισμός σου με την ερώτηση που έβαλες δείνει και την απάντηση σε αυτό που ρωτάς :

Το συμπέρασμα είναι ότι σε παρόμοια θέματα οφείλεται η δέουσα προσοχή για τον τρόπο διαγραφής(ή πρόσθεσης) όρων από τα δύο μέλη μιας ανισότητας που έχει μιγαδικές μεταβλητές.Αυτή η γνωστή διαγραφή , όρο με όρο, που θα κάναμε αν είχαμε πραγματικούς και που κάνουμε στον πίνακα , δεν πρέπει κανονικά να γίνει. Πρέπει να διαφράψουμε και τους δύο όρους συγχρόνως, ως να ήταν ένας, μια και μόνο έτσι έχουμε πραγματικό.

Αν και πρόκειται για κάτι σπάνιο , πρέπει εμείς οι δάσκαλοι να είμαστε προσεκτικοί. Να τονίσω δε ότι είναι η άσκηση αυτή δίνει χρυσή ευκαιρία να κουβεντιάσουμε στην τάξη την ωραία παρατήρηση που ανέδειξες .Ψιλά γράμματα βέβαια, αλλά κάποιος θα μάθει κάτι !
Μερικές φορές είναι η λεπτομέρεια που κάνει τη διαφορά !

Μπάμπης

kyros · #12

όντως πολύ εύστοχη και ενδιαφέρουσα παρατήρηση-άσκηση. είναι κάτι πραγματικά σπάνιο να ακούσεις από τους καθηγητές σου και όμως πολύ χρήσιμο..

Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Re: Κλασσική άσκηση ανισότητας μέτρων για παρατηρήσεις και συζήτ

Μέλη σε σύνδεση