Ισοσκελές τρίγωνο σε κανονικό πολύγωνο

[socrates]

Δίνεται κανονικό γωνο. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου με την ιδιότητα:
ανάμεσα σε οποιεσδήποτε κορυφές του γώνου, υπάρχουν τρεις που αποτελούν κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.

[Demetres]

Αυτό είναι ένα πολύ δύσκολο ανοικτό πρόβλημα.

Έχει άμεση σχέση με το εξής πρόβλημα: Ποιο είναι το μέγιστο ώστε να υπάρχουν αριθμοί στο ώστε να μην υπάρχουν τρεις από αυτούς σε αριθμητική πρόοδο;

Αυτός ο αριθμός συμβολίζεται με .

Αν συμβολίσω με τον αριθμό που ζητάει ο Θανάσης τότε είναι απλό ότι .

Αυτό έπεται επειδή αν έχω τρεις αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο, τότε οι αντίστοιχες κορυφές στο πολύγωνο δίνουν ισοσκελές τρίγωνο. Αντίστροφα, αν έχω κάποιους αριθμούς στο χωρίς αριθμητική πρόοδο, τότε οι αντίστοιχες κορυφές δεν σχηματίζουν κανένα ισοσκελές τρίγωνο. [Το χρειάζεται διότι στο πολύγωνο μπορούμε να πάμε και προς τα πίσω. Π.χ. οι δεν είναι σε αριθμητική πρόοδο, αλλά για σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με το ως κορυφή.]

Ο υπολογισμός του είναι εξαιρετικά δύσκολος. Το σημαντικότερο επίτευγμα είναι αυτό του Roth που στην δεκαετία του 1950 έδειξε ότι , δηλαδή ότι το τείνει στο . Λίγο πιο πριν ο Behrend έδειξε ότι

Τα καλύτερα φράγματα μέχρι στιγμής μπορείτε να τα βρείτε στην wikipedia στην σελίδα για το θεώρημα Szemeredi (υπάρχει ένα πρόβλημα με το link) όπου μιλάει πιο γενικά και για μεγαλύτερες αριθμητικές προόδους.