Άσκηση

parat26 · #1

Καλησπέρα,

Προσπαθώ να λύσω αυτήν την άσκηση αλλά δεν φαίνεται να καταλήγω στο επιθυμητό αποτέλεσμα.

Δίνεται η σχέση $f(x+y) = af(x) + bf(y) , \forall x,y\in \mathbb{R}.$
Αν η συνάρτηση

δεν είναι σταθερή, να αποδείξετε ότι: a = b

Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη, ευχαριστώ.

#2

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Κάνε διόρθωση του κειμένου σου γράφοντάς το σε LATEX, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας (για να μη σβηστεί η ερώτησή σου και οι απαντήσεις που θα προκαλέσει), και θα σου δώσω υπόδειξη.

parat26 · #3

Ευχαριστώ!

Πιστεύω πως η ερώτηση πρέπει να είναι εντάξει τώρα.

#4

parat26 έγραψε: Δίνεται η σχέση $f(x+y) = af(x) + bf(y) , \forall x,y\in \mathbb{R}.$
Αν η συνάρτηση δεν είναι σταθερή, να αποδείξετε ότι:

Υπόδειξη: Βάλε y=0

. Θα βρεις μία σχέση από την οποία θα βγαίνει το συμπέρασμα ότι αν $a\ne 1$ τότε η

είναι σταθερή. Τι σου λέει αυτό για το

Τι θα κάνεις για το

parat26 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
parat26 έγραψε: Δίνεται η σχέση $f(x+y) = af(x) + bf(y) , \forall x,y\in \mathbb{R}.$
Αν η συνάρτηση δεν είναι σταθερή, να αποδείξετε ότι:
Υπόδειξη: Βάλε . Θα βρεις μία σχέση από την οποία θα βγαίνει το συμπέρασμα ότι αν $a\ne 1$ τότε η είναι σταθερή. Τι σου λέει αυτό για το Τι θα κάνεις για το

Έτσι αποδεικνύεται ότι f(x)(1-a) = bf(0)

έπειτα τι κάνουμε; Ως εδώ το είχαμε κάνει και εμείς, αλλά δεν φαίνεται να συμπεραίνουμε κάτι.

Κοτσόβολης Γιώργος · #6

Μην ξεχνάς πως τα

και

είναι σταθερές και δεν τρέχουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

#7

parat26 έγραψε: έπειτα τι κάνουμε; Ως εδώ το είχαμε κάνει και εμείς, αλλά δεν φαίνεται να συμπεραίνουμε κάτι.

Είσαι στον σωστό δρόμο. Όσο για το ερώτημά σου, ουσιαστικά το έχω απαντήσει ήδη

Mihalis_Lambrou έγραψε: από την οποία θα βγαίνει το συμπέρασμα ότι αν $a\ne 1$ τότε η είναι σταθερή. Τι σου λέει αυτό για το

parat26 · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
parat26 έγραψε: έπειτα τι κάνουμε; Ως εδώ το είχαμε κάνει και εμείς, αλλά δεν φαίνεται να συμπεραίνουμε κάτι.
Είσαι στον σωστό δρόμο. Όσο για το ερώτημά σου, ουσιαστικά το έχω απαντήσει ήδη

Mihalis_Lambrou έγραψε: από την οποία θα βγαίνει το συμπέρασμα ότι αν $a\ne 1$ τότε η είναι σταθερή. Τι σου λέει αυτό για το

Αν θέσω

τότε έχουμε $f(0)(1 - a) = bf(0) \Leftrightarrow 1 - a = b \Leftrightarrow a + b = 1$ . Αλλά η άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι a = b

;

#9

parat26 έγραψε: Αν θέσω τότε έχουμε $f(0)(1 - a) = bf(0) {\color {red} \Leftrightarrow} 1 - a = b \Leftrightarrow a + b = 1$ . Αλλά η άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι ;

Ξαναδιάβασε αυτό που γράφω και συνέχισε από εκεί (δηλαδή συνέχισε το σωστό πρώτο βήμα που έγραψες νωρίτερα).

Αυτό που μόλις έγραψες ξεφεύγει από τον δρόμο προς την λύση. Πρώτα από όλα γιατί αυτό που σημείωσα με κόκκινο (δύο γραμμές πιο πάνω) δεν είναι σωστό. Γιατί;

ANALYSI123 · #10

αγαπητέ φιλέ κάνουμε το ίδιο ακριβώς και για y=0

και καταλήγεις f(x)(1-b) = af(0)

και επιλύεις το σύστημα parat26 fyletikes

#11

ANALYSI123 έγραψε:αγαπητέ φιλέ κάνουμε το ίδιο ακριβώς και για και καταλήγεις και επιλύεις το σύστημα parat26 fyletikes

Όχι δεν είναι σωστό αυτό. Πρώτα από όλα πιο σύστημα; Ποιοι είναι οι άγνωστοι, τα a,b

ή τα

; Που χρησιμοποίησες την υπόθεση ότι η

δεν είναι σταθερή; Πουθενά αν και, επισημαίνω, ότι είναι ουσιαστικό μέρος των συνθηκών του προβλήματος.

Προσπάθησε να διεκπεραιώσεις την αρχική ερώτηση, ότι δηλαδή ισχύει a=b

αν

μη στεθερή. Το βήμα που λείπει ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ.

#12

Επειδή αντάλλαξα αρκετά Π.Μ. με διάφορες προσπάθειες απόδειξης του ζητούμενου, αλλά
ήσαν όλες ατελέσφορες, βάζω λύση ώστε να την διαβάσουν οι μαθητές μας που μου έστειλαν
μήνυμα.

parat26 έγραψε: Δίνεται η σχέση $f(x+y) = af(x) + bf(y) , \forall x,y\in \mathbb{R}.$
Αν η συνάρτηση δεν είναι σταθερή, να αποδείξετε ότι:

α' τρόπος Για y=0

παίρνουμε

και άρα

. Δεν μπορεί να είναι $a\ne 1$
γιατί τότε $f(x) = \frac {bf(0)}{1-a}=$ σταθερό, που αντιβαίνει στην υπόθεση. Τελικά ισχύει a=1

και όμοια

από όπου το αποδεικτέο (και με περίσσευμα).

β' τρόπος Αφού η

δεν είναι σταθερή, υπάρχουν x_0, y_0

με $f(x_0)\ne f(y_0) \, (*)$ . Από την υπόθεση έχουμε

f(x_0+y_0) = af(x_0) + bf(y_0)

και επίσης
f(y_0+x_0) = af(y_0) + bf(x_0)

Όμως τα αριστερά μέλη είναι ίσα, οπότε θα ισχύει και af(x_0) + bf(y_0)= af(y_0) + bf(x_0)

. Αυτή γράφεται

$(a-b) \left ( f(x_0) - f(y_0) \right ) =0$ από όπου, λόγω της (*)

, έπεται

. Άρα

.

Μ.

Άσκηση

Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση