Putnam 2015/A1

#1

Έστω

σημεία της υπερβολής xy = 1

. Έστω

το σημείο της υπερβολής που βρίσκεται ενδιάμεσα των

και

με την ιδιότητα ο όγκος του τριγώνου APB

να είναι ο μέγιστος δυνατός.

Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της υπερβολής και της χορδής

ισούται με το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της υπερβολής και της χορδής

.

#2

Demetres έγραψε:Έστω σημεία της υπερβολής . Έστω το σημείο της υπερβολής που βρίσκεται ενδιάμεσα των και με την ιδιότητα ο όγκος του τριγώνου να είναι ο μέγιστος δυνατός.

Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της υπερβολής και της χορδής ισούται με το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της υπερβολής και της χορδής .

Μάλλον απλή για Putnam. Υποθέτω ότι θα την έλυσαν όλοι οι διαγωνιζόμενοι.

Έστω A', B'

οι προβολές των A,B

στον άξονα των

. Αφού το χωρίο AA'B'B

μένει σταθερό, θα έχουμε μέγιστο εμβαδόν του APB

αν και μόνον αν είναι ελάχιστο το AA'B'BPA

(δύο τραπέζια κολλημένα). Αν τα σημεία A, B,P

έχουν συντεταγμένες $A\left (a,\frac {1}{a}\right ), B\left (b,\frac {1}{b}\right), P\left (x,\frac {1}{x}\right )$ , τότε $(AA'B'BPA) = \frac {1}{2} ( x-a)\left (\frac {1}{x} + \frac {1}{a}\right) + \frac {1}{2} ( b-x)\left (\frac {1}{x} + \frac {1}{b}\right)}$ .

Παραγωγίζοντας ή αλλιώς, έχουμε ελάχιστο αν $x=\sqrt {ab}$ .

Τώρα εύκολα βλέπουμε ότι τα δύο χωρία έχουν ίσα εμβαδά καθώς έκαστο ισούται με $\frac {1}{2} (\frac {\sqrt b}{\sqrt a} - \frac {\sqrt a}{\sqrt b}) - \ln \frac {\sqrt b}{\sqrt a}$ (το εμβαδόν κάτω από την 1/x

δίνει τον λογάριθμο, οπότε το καθένα από τα εν λόγω εμβαδά είναι η διαφορά δύο χωρίων: τραπεζίου και υπερβολικού).

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μιχάλη, νομίζω σχεδόν πάντα η Α1 είναι εύκολη. Φαίνεται όμως ότι υπάρχουν πολλοί που δεν την γράφουν. Έχω ένα αρχείο με τα προβλήματα των διαγωνισμών από το 1985 ως το 2000. Το αρχείο αναφέρει και διάφορα στατιστικά συμπεριλαμβανομένης και της διαμέσου τον βαθμών. Η διάμεσος (από τα 120 αφού κάθε πρόβλημα παίρνει 10 μονάδες) ήταν 2,19,1,16,0,2,11,2,10,3,8,3,1,10,0,0

. Ο βαθμός για να μπεις στους πρώτους 200 κυμαινόταν από 21 μέχρι 42. Για την εύφυμη μνεία από 41 μέχρι 69 και για το Putnam Fellow (πρώτοι 5) από 60 μέχρι 110. (Συνήθως κυμαινόταν μεταξύ 80 και 100)

Για την άσκηση τώρα, για το εμβαδόν του τριγώνου APB

χρησιμοποίησα τον τύπο με την ορίζουσα
$\displaystyle{ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & x \\ 1/a & 1/b & 1/x \end{vmatrix}}$

Τα υπόλοιπα λίγο πολύ είναι τα ίδια.

#4

Δημήτρη, πολύ ενδιαφέροντα αυτά που γράφεις.

Επί της άσκησης ας προσθέσω δύο ακόμα συμπεράσματα που έπονται (απλά) από τις λύσεις:

α) Η εφαπτομένη της υπερβολής στο

είναι παράλληλη της

,

β) Όχι μόνο τα δύο χωρία που αναφέρει η άσκηση είναι ίσα, αλλά είναι επίσης
ίσα τα δύο χωρία κάτω από την υπερβολή, από

ως

και από

ως

.

Μ.

Putnam 2015/A1

Putnam 2015/A1

Re: Putnam 2015/A1

Re: Putnam 2015/A1

Re: Putnam 2015/A1

Μέλη σε σύνδεση