Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 1. Μπορεί ο αριθμός $\dfrac{1}{10}$ να παρασταθεί ως γινόμενο δέκα θετικών «κανονικών» κλασμάτων; (κανονικό κλάσμα θεωρούμε αυτό που μπορεί να γραφεί στη μορφή $\dfrac{p}{q}$ όπου p,q

φυσικοί με p < q

).

Πρόβλημα 2. Σε στρογγυλό τραπέζι κάθονται 10 άτομα, ο καθένας από τους οποίους είναι είτε ιππότης και λέει πάντα την αλήθεια είτε κόλακας και λέει πάντα ψέματα. Δυο από τα άτομα αναφώνησαν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες» οι υπόλοιποι οχτώ αναφώνησαν «και οι δυο διπλανοί μου είναι ιππότες». Πόσοι ιππότες μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων; (απαριθμείστε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι άλλες δεν υπάρχουν).

Πρόβλημα 3. Στη διάμεσο

τρίγωνου

υπάρχει σημείο

τέτοιο, ώστε AK=BM

και επιπλέον $\angle AMC = 60^0$ . Να αποδείξετε ότι AC=BK

.

Πρόβλημα 4. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό, που διαιρείτε με το 99, στην δεκαδική αναπαράσταση του οποίου υπάρχουν μόνο άρτια ψηφία.

Πρόβλημα 5. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ABCDE

, όλες οι πλευρές του οποίου ισούνται μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι η γωνία

είναι ίση με 120^0

, η γωνία

ίση με

και η γωνία

ίση με

. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

.

Πρόβλημα 6. Άρτιος αριθμός καρυδιών είναι τοποθετημένος σε τρεις σωρούς. Με μια κίνηση επιτρέπετε να μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από ένα σωρό με άρτιο πλήθος καρυδιών σε οποιοδήποτε άλλο σωρό. Να αποδείξετε ότι όποια και να ήταν η αρχική κατανομή των καρυδιών στους σωρούς, με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να συγκεντρώσουμε σε κάποιο σωρό ακριβώς τα μισά από το ολικό πλήθος καρυδιών.

Σημείωση: Σύμφωνα με την πηγή που είναι η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας εδώ. «Τα θέματα και οι λύσεις διατίθενται ελεύθερα για μη εμπορική χρήση (με επιθυμητή την αναφορά στην πηγή κατά την ανατύπωση)».

ealexiou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 1. Μπορεί ο αριθμός $\dfrac{1}{10}$ να παρασταθεί ως γινόμενο δέκα θετικών «κανονικών» κλασμάτων; (κανονικό κλάσμα θεωρούμε αυτό που μπορεί να γραφεί στη μορφή $\dfrac{p}{q}$ όπου φυσικοί με ).

ή πολύ εύκολο είναι ή κάτι δεν κατάλαβα σωστά...

Με πολλούς τρόπους π.χ $\dfrac{10}{11}\dfrac{11}{12}\dfrac{12}{13}\dfrac{13}{14}\dfrac{14}{15}\dfrac{15}{16}\dfrac{16}{17}}\dfrac{17}{18}\dfrac{18}{19}\dfrac{19}{100}=\dfrac{1}{10}$ ,

δηλαδή ο αριθμητής ενός κλάσματος δια του παρονομαστή ενός άλλου κλάσματος να ισούται με $\dfrac{1}{10}$ και οι υπόλοιποι εννιά αριθμητές να απαλείφονται με τους υπόλοιπους εννιά παρονομαστές.

ealexiou · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 3. Στη διάμεσο τρίγωνου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε και επιπλέον $\angle AMC = 60^0$ . Να αποδείξετε ότι .

: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 Πρ 3.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 3830 φορές

΄

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο AKD

, οπότε προφανώς το τετράπλευρο KDCM

είναι παραλληλόγραμμο, άρα CD=MK

και επειδή $\angle ADC=60°+60°=120°=\angle BMK$ , έχουμε $\triangle BMK=\triangle ADC$ και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

#4

ealexiou έγραψε:
ή πολύ εύκολο είναι ή κάτι δεν κατάλαβα σωστά...

Θα συμφωνήσω ότι είναι πολύ εύκολο. Ας δούμε μία διαφορετική λύση και μάλιστα γενίκευση: Να παρασταθεί ως γινόμενο

θετικών κανονικών κλασμάτων δοθείς ρητός

με

.

Λύση: Παίρνουμε N-1

τυχαία κανονικά κλάσματα με μόνο περιορισμό το γινόμενό τους

να ικανοποιεί A<B<1

. Π.χ. αν όλα τα κλάσματα είναι πολύ κοντά στο

, το πετυχαίνουμε εύκολα αυτό. Τότε τα N-1

αυτά κλάσματα μαζί με το $\frac {A}{B}$ κάνουν την δουλειά.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 3. Στη διάμεσο τρίγωνου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε και επιπλέον $\angle AMC = 60^0$ . Να αποδείξετε ότι .

Καλησπέρα.

: Μόσχα 2016(8η τάξη).png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 3763 φορές

Έστω

. Από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AMC, KBM

:

$\displaystyle{A{C^2} = {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{a}{2}\left( {x + \frac{a}{2}} \right) = {x^2} + \frac{{ax}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} = K{B^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{KB=AC}$

ealexiou · #6

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 5. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο , όλες οι πλευρές του οποίου ισούνται μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι η γωνία είναι ίση με , η γωνία ίση με και η γωνία ίση με . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .

Το "Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

¨ με προβληματίζει καθώς μόνο μία τιμή βρίσκω. Ίδωμεν....

: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η) πρ 5.png (13.45 KiB) Προβλήθηκε 3750 φορές

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ όλες (τις ίσες) πλευρές ίσες με

.

Εφαρμόζω διαδοχικά τον νόμο των συνημιτόνων.

$BE=\sqrt{1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot cos120°}=...=\sqrt{3}$

$BD=\sqrt{1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot cos135°}=\sqrt{1^2+1^2+2\cdot1\cdot1\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$

και $BE^2=ED^2+BD^2-2AD\cdot BD\cdot cosx \Rightarrow$ $3=1+2+\sqrt{2}-2\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot cosx \Rightarrow$

$cosx=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\Rightarrow....\Rightarrow x=67.5°\Rightarrow n=90°$

STOPJOHN · #7

Kαλημέρα
πρόβλημα 3

Στα τρίγωνα KMB,AMB,

με γωνία

$\hat{AMB}=120^{0}, x^{2}=\mu _{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}+a\mu _{a},(1),AC=b,KB=x, c^{2}=\mu _{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}+a\mu _{a},(2)$ .

Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο

$ABC,\mu _{a}^{2}=\dfrac{b^{2}+c^{2}}{2}-\dfrac{a^{2}}{4},(3), (2),(3)\Rightarrow a\mu _{a}=\dfrac{c^{2}-b^{2}}{2},(*), (1),(3),(*)\Rightarrow x^{2}=b^{2}\Leftrightarrow x=b$

Γιάννης

nikkru · #8

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 6. Άρτιος αριθμός καρυδιών είναι τοποθετημένος σε τρεις σωρούς. Με μια κίνηση επιτρέπετε να μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από ένα σωρό με άρτιο πλήθος καρυδιών σε οποιοδήποτε άλλο σωρό. Να αποδείξετε ότι όποια και να ήταν η αρχική κατανομή των καρυδιών στους σωρούς, με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να συγκεντρώσουμε σε κάποιο σωρό ακριβώς τα μισά από το ολικό πλήθος καρυδιών.

Αν έχουμε

καρύδια, η στρατηγική που ακολουθούμε είναι να φτάσουμε μετά από

το πολύ βήματα να έχουμε ένα σωρό με

καρύδια ή δύο "σωρούς" με ένα καρύδι και ο τρίτος να έχει 2n-2

καρύδια ώστε στο επόμενο βήμα ο ένας σωρός να έχει

καρύδια. Για αυτό κάνουμε το εξής:

αν κάποιος σωρός έχει

καρύδια τελειώσαμε,
διαφορετικά μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από τον σωρό που έχει τον μικρότερο ζυγό αριθμό καρυδιών
στον σωρό με τα περισσότερα καρύδια και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία.

#9

nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 6. Άρτιος αριθμός καρυδιών είναι τοποθετημένος σε τρεις σωρούς. Με μια κίνηση επιτρέπετε να μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από ένα σωρό με άρτιο πλήθος καρυδιών σε οποιοδήποτε άλλο σωρό. Να αποδείξετε ότι όποια και να ήταν η αρχική κατανομή των καρυδιών στους σωρούς, με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να συγκεντρώσουμε σε κάποιο σωρό ακριβώς τα μισά από το ολικό πλήθος καρυδιών.
Αν έχουμε καρύδια, η στρατηγική που ακολουθούμε είναι να φτάσουμε μετά από το πολύ βήματα να έχουμε ένα σωρό με καρύδια ή δύο "σωρούς" με ένα καρύδι και ο τρίτος να έχει καρύδια ώστε στο επόμενο βήμα ο ένας σωρός να έχει καρύδια. Για αυτό κάνουμε το εξής:

αν κάποιος σωρός έχει καρύδια τελειώσαμε,
διαφορετικά μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από τον σωρό που έχει τον μικρότερο ζυγό αριθμό καρυδιών
στον σωρό με τα περισσότερα καρύδια και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία.

Δεν δουλεύει. Π.χ. αν έχουμε 12,3,1

καρύδια, στο επόμενο βήμα θα έχουμε 6,9,1

και στο επόμενο 3,12,1

οπότε η διαδικασία θα επαναλαμβάνεται επ' άπειρον.

Al.Koutsouridis · #10

nikkru έγραψε:
Αν έχουμε καρύδια, η στρατηγική που ακολουθούμε είναι να φτάσουμε μετά από το πολύ βήματα να έχουμε ένα σωρό με καρύδια ή δύο "σωρούς" με ένα καρύδι και ο τρίτος να έχει καρύδια ώστε στο επόμενο βήμα ο ένας σωρός να έχει καρύδια. Για αυτό κάνουμε το εξής:

αν κάποιος σωρός έχει καρύδια τελειώσαμε,
διαφορετικά μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από τον σωρό που έχει τον μικρότερο ζυγό αριθμό καρυδιών
στον σωρό με τα περισσότερα καρύδια και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία.

Επειδή έψαχνα να βρώ "εύκολη" τριάδα που να αποτυγχάνει η διαδικασία που περιγράφεις και δεν έβρισκα έγραψα το κώδικα σε python για τον αλγόρθμο που περιγράφεις. Εκ των υστέρων είδα την δημοσίευση του κ.Δημήτρη που βρήκε μία τέτοια τριάδα. Τον παραθέτω περισσότερο για τον κόπο

Κώδικας: Επιλογή όλων


nb1 = input("enter nuts in stack 1: ")
nb2 = input("enter nuts in stack 2: ")
nb3 = input("enter nuts in stack 3: ")

nut_list=[int(nb1),int(nb2),int(nb3)] ;

sum= nut_list[0]+nut_list[1]+nut_list[2];
counter=0;
half_sum = sum/2;
print half_sum;
while ( (nut_list[0] != half_sum) and (nut_list[1] != half_sum) and (nut_list[2] != half_sum) ):
    counter=counter+1;
    nut_list.sort();
    if counter > 2 * nut_list[2] :
        print "more than 2n steps needed";
        break
    print "nuts ( %d, %d, %d) " % (nut_list[0], nut_list[1], nut_list[2]);
    if nut_list[0] % 2 == 0 :
        nut_list[1] = nut_list[1];
        nut_list[2] = nut_list[2]+nut_list[0]/2;
        nut_list[0] = nut_list[0]/2;
    elif nut_list[1] % 2 == 0 :
        nut_list[0] = nut_list[0];
        nut_list[2] = nut_list[2]+nut_list[1]/2;
        nut_list[1] = nut_list[1]/2;
    else :
        nut_list[0] = nut_list[0];
        nut_list[1] = nut_list[1]+nut_list[2]/2;
        nut_list[2] = nut_list[2]/2;
    
    
print "current nuts status";
print "nuts ( %d, %d, %d) " % (nut_list[0], nut_list[1], nut_list[2]);

που μπορεί για παράδειγμα να το τρέξει κάποιος στη σελίδα http://www.tutorialspoint.com/execute_python_online.php

βάζοντας τα νούμερα 12,3,1 π.χ. προκύπτει ότι όντως σε

βήματα δεν μπορούμε να φτάσουμε στη λύση.

Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό δυσκόλεψε περισσότερο από όλα τους μαθητές αφού από τους 1214 συμμετέχοντες της 8ης τάξης κανείς δεν το έλυσε πλήρως.

nikkru · #11

Έχετε δίκιο, δεν οδηγεί πάντα σε λύση,Καλά λένε " της νύχτας τα καμώματα... "

#12

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 6. Άρτιος αριθμός καρυδιών είναι τοποθετημένος σε τρεις σωρούς. Με μια κίνηση επιτρέπετε να μεταφέρουμε τα μισά καρύδια από ένα σωρό με άρτιο πλήθος καρυδιών σε οποιοδήποτε άλλο σωρό. Να αποδείξετε ότι όποια και να ήταν η αρχική κατανομή των καρυδιών στους σωρούς, με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να συγκεντρώσουμε σε κάποιο σωρό ακριβώς τα μισά από το ολικό πλήθος καρυδιών.

Al.Koutsouridis έγραψε: Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό δυσκόλεψε περισσότερο από όλα τους μαθητές αφού από τους 1214 συμμετέχοντες της 8ης τάξης κανείς δεν το έλυσε πλήρως.

Δεν εκπλήσσομαι. Θα μπορούσε άνετα να είναι θέμα ΙΜΟ. Και μάλιστα τουλάχιστον μέτριας δυσκολίας.

Ας δούμε μια λύση:

Μπορώ να υποθέσω ότι η μία σωρός έχει άρτιο αριθμό καρυδιών και οι δύο άλλες περιττό. Πράγματι σε αντίθετη περίπτωση θα έχουν και οι τρεις σωροί άρτιο αριθμό. Επιλέγω μια σωρό και μεταφέρω συνέχεια τον μισό αριθμό καρυδιών από αυτήν την σωρό σε μια άλλη μέχρι να μείνει περιττός αριθμός καρυδιών σε αυτήν την σωρό. Τότε αυτή έχει περιττό αριθμό καρυδιών. Από τις άλλες δύο η μια περιέχει περιττό αριθμό και η άλλη άρτιο.

Από όλες τις διατάξεις καρυδιών στις οποίες μπορώ να καταλήξω και στις οποίες έχω ακριβώς μία άρτια στήλη, παίρνω μία διάταξη όπου ο αριθμός των καρυδιών στην μεγαλύτερη περιττή στήλη είναι μέγιστος.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας η πιο πάνω διάταξη έχει (x,y,z)

καρύδια με

περιττό και μέγιστο. Μπορώ επίσης να υποθέσω ότι

άρτιος και

περιττός. Αγνοώ τώρα την στήλη με τα

καρύδια και σε κάθε βήμα εφαρμόζω την διαδικασία στις άλλες δύο στήλες. Επειδή η μια στήλη έχει περιττό αριθμό καρυδιών και η άλλη άρτιο μπορώ όντως να την εφαρμόσω, και μετά την εφαρμογή θα εξακολουθεί να ισχύει ότι μία από αυτές τις στήλες είναι περιττή και η άλλη άρτια. Οπότε μπορώ να εφαρμόσω την διαδικασία επ' άπειρον. Ας γράψω (x_n.y_n,z)

για τον αριθμό των καρυδιών στην

-οστή εφαρμογή της διαδικασίας, όπου x_n

περιττός και y_n

άρτιος. (Γράφω επίσης x_0 = x, y_0 = y

.)

Σε κάθε βήμα της πιο πάνω εφαρμογής το y_n

δεν θα είναι ποτέ πολλαπλάσιο του

. Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση θα μπορούσα να αφαιρέσω τα μισά καρύδια από αυτήν την στήλη και να τα μεταφέρω στην στήλη με τα

καρύδια. Η τρίτη στήλη θα είχε τώρα περισσότερα από

καρύδια. Θα είχε επίσης περιττό αριθμό καρυδιών, άτοπο από την επιλογή του

.

Από τα πιο πάνω καταλήγω στο ότι $x_{n+1} = y_n/2$ και $y_{n+1} = x_n + y_n/2$ . Εξετάζω τώρα το S_n = |2x_n - y_n|

και παρατηρώ ότι $S_{n+1} = S_n/2$ . Όμως το S_n

είναι μη αρνητικός ακέραιος. Η μόνο περίπτωση για να μην καταλήξουμε σε άτοπο είναι να έχουμε S_n = 0

για κάθε

.

Αλλά τότε είναι y = 2x

. Δηλαδή μπορώ να καταλήξω στην (x,2x,z)

. Αλλά από εδώ μπορώ να καταλήξω στην (x,x,z+x)

και από εδώ (o z+x

πρέπει να είναι άρτιος) στην (x,(3x+z)/2,(z+x)/2)

. Η μεσαία στήλη τώρα έχει ακριβώς τα μισά καρύδια.

#13

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 2. Σε στρογγυλό τραπέζι κάθονται 10 άτομα, ο καθένας από τους οποίους είναι είτε ιππότης και λέει πάντα την αλήθεια είτε κόλακας και λέει πάντα ψέματα. Δυο από τα άτομα αναφώνησαν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες» οι υπόλοιποι οχτώ αναφώνησαν «και οι δυο διπλανοί μου είναι ιππότες». Πόσοι ιππότες μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων; (απαριθμείστε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι άλλες δεν υπάρχουν).

Δεν μπορούμε να έχουμε δύο ιππότες που να βρίσκονται δίπλα δίπλα. Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση και οι δύο θα αναφωνήσουν «και οι δυο διπλανοί μου είναι ιππότες» οπότε θα έχουμε τέσσερις συνεχόμενους ιππότες. Με το ίδιο επιχείρημα επαγωγικά βρίσκουμε ότι όλοι είναι ιππότες. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού κανείς τότε δεν θα αναφωνήσει «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες».

Κάθε ιππότης λοιπόν έχει δίπλα του δύο κόλακες και άρα αναφωνεί «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες». Οπότε έχουμε το πολύ δύο ιππότες.

Δεν μπορεί να είναι όλοι κόλακες αφού τότε δύο κόλακες θα αναφωνήσουν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες» που είναι αλήθεια.

Άρα έχουμε είτε ένα ιππότη είτε δύο ιππότες. Και οι δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

Στην πρώτη περίπτωση ο ιππότης μαζί με έναν από τους κόλακες που βρίσκονται δίπλα του αναφωνούν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες». Όλοι οι άλλοι αναφωνούν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες». Αυτό είναι επιτρεπτό.

Στην δεύτερη περίπτωση και οι δύο ιππότες (αφού είπαμε ότι δεν είναι διπλανοί) αναφωνούν «Και οι δυο διπλανοί μου είναι κόλακες». Κάθε κόλακας αναφωνεί «και οι δυο διπλανοί μου είναι ιππότες». Αυτό είναι επιτρεπτό αρκεί να μην υπάρχει ακριβώς ένας κόλακας μεταξύ των δύο ιπποτών.

Συνοψίζοντας λοιπόν είτε έχουμε ακριβώς ένα ιππότη, είτε ακριβώς δύο ιππότες. Στην δεύτερη περίπτωση ενδιάμεσα των ιπποτών πρέπει να έχουμε από δύο μέχρι έξι κόλακες.

Eυ. N. · #14

Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 4. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό, που διαιρείτε με το 99, στην δεκαδική αναπαράσταση του οποίου υπάρχουν μόνο άρτια ψηφία.

Πιστεύω ότι αυτός είναι το

, καθώς δεν δίνονται παραπάνω παράμετροι στην εκφώνηση.

#15

Eυ. N. έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 4. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό, που διαιρείτε με το 99, στην δεκαδική αναπαράσταση του οποίου υπάρχουν μόνο άρτια ψηφία.

Πιστεύω ότι αυτός είναι το , καθώς δεν δίνονται παραπάνω παράμετροι στην εκφώνηση.

Υπάρχει ένα θέμα με το αν το

θεωρείται φυσικός ή όχι. Σε κάποια βιβλία/χώρες θεωρείται φυσικός ενώ αλλού όχι. Αν δεν διευκρινίζει η άσκηση, ένας καλός γενικός κανόνας για να μαντεύουμε τι ισχύει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση είναι αν κάποια επιλογή κάνει την άσκηση τετριμμένη.

Π.χ. εδώ, θεωρώντας τον

φυσικό ουσιαστικά δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα. Ενώ αν ο

δεν είναι φυσικός τότε η άσκηση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα.

Την έλυσα πριν καιρό και βρήκα ως απάντηση τον 228888

. Θα περιμένω λίγες μέρες για να την δοκιμάσουν και άλλοι τώρα που έγινε γνωστή η απάντηση. Αν δεν δοθεί λύση θα βάλω την δική μου.

Επεξεργασία: Διόρθωση της τελικής απάντησης.

Al.Koutsouridis · #16

Eυ. N. έγραψε: Πιστεύω ότι αυτός είναι το , καθώς δεν δίνονται παραπάνω παράμετροι στην εκφώνηση.

Τυπικά έχεις δίκιο γιατί στην Ελλάδα στα σχολικά εγχειρίδια το μηδέν ανήκει στους φυσικούς, στα ρώσικα το μηδέν δεν ανήκει στους φυσικούς. Αλλά όπως σημείωσε και ο κ.Δημήτρης παραπάνω το μηδεν γίνεται τετριμένο.

Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

S.E.Louridas · #17

Κατά τους Πυθαγόρειους το 0 (μηδέν) δεν είναι φυσικός αριθμός.

#18

Al.Koutsouridis έγραψε: Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

Υπάρχουν σοβαροί λόγοι υπέρ και των δύο προσεγγίσεων. Δείτε π.χ. τα σχόλιά μου εδώ.

#19

Demetres έγραψε:
Eυ. N. έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

13 Μαρτίου 2016, 8η τάξη.

Πρόβλημα 4. Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό, που διαιρείτε με το 99, στην δεκαδική αναπαράσταση του οποίου υπάρχουν μόνο άρτια ψηφία.

Πιστεύω ότι αυτός είναι το , καθώς δεν δίνονται παραπάνω παράμετροι στην εκφώνηση.
Υπάρχει ένα θέμα με το αν το θεωρείται φυσικός ή όχι. Σε κάποια βιβλία/χώρες θεωρείται φυσικός ενώ αλλού όχι. Αν δεν διευκρινίζει η άσκηση, ένας καλός γενικός κανόνας για να μαντεύουμε τι ισχύει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση είναι αν κάποια επιλογή κάνει την άσκηση τετριμμένη.

Π.χ. εδώ, θεωρώντας τον φυσικό ουσιαστικά δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα. Ενώ αν ο δεν είναι φυσικός τότε η άσκηση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα.

Την έλυσα πριν καιρό και βρήκα ως απάντηση τον . Θα περιμένω λίγες μέρες για να την δοκιμάσουν και άλλοι τώρα που έγινε γνωστή η απάντηση. Αν δεν δοθεί λύση θα βάλω την δική μου.

Όπως με ενημέρωσε σε π.μ. ο Δημήτρης Σκουτέρης υπάρχει και πιο μικρός αριθμός. Πράγματι είναι ο 228888

. Διορθώνω πιο πάνω και θα επανέλθω για την απόδειξη αν δεν την δώσει κάποιος άλλος. Ελπίζω να μην κάνω ξανά λάθος!

Αρχιμήδης 6 · #20

Al.Koutsouridis έγραψε: Γενικά πάντως θα προτιμούσα ως φυσικοί να ορίζονται οι αριθμοί 1,2,3,.. στα σχολικά βιβλία αλλά και γενικότερα.

Αν το

δεν είναι φυσικός τότε τι νόημα έχει η φράση ''θετικοί ακέραιοι'' (positive integers) ;
Θέλω να πω ότι ίσως είναι πιο βολικό αν δεχτούμε ως φυσικό και το

.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2016 (8η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση